"[48 Zweite Abtheil. Allgem. mathem. u. physikal. Verhältn. d. Erdkörpers. 



zuerst nach der vorigen Formel ans zwei wirklich gemessenen Polhöhen 

 oder Breiten berechnet sein können, die zugehörigen Erdradien r x und 

 r 2 , so lässt sich die Excentricität der Meridianellipse bestimmen. Ver- 

 steht man nämlich unter x lf j 1 und x 2 , j 2 die rechtwinkligen Koordi- 

 naten der fraglichen Erdorte, so müssen offenbar die Gleichungen 



a 2 y x 2 + b 2 Xl 2 = a 2 b 2 , a 2 y 2 2 + b 2 x 2 2 = a 2 b 2 , 

 oder, wenn man statt der orthogonalen polare Koordinaten einführt, 

 auch die Gleichungen 



aV sin 2 <p\ + bV cos 2 <p\ = a 2 b 2 , a 2 r 2 2 sin 2 f 2 + b 2 r 2 2 cos 2 <p' 2 = a 2 b 2 



gelten. Komparation und nachherige Division liefert die neue Gleichung 



b 2 r x 2 sin 2 <p\ — r 2 2 sin 2 <p' 2 



a 2 r 2 2 cos 2 <p' 2 — r x 2 cos 2 <p\ ' 



Zieht man endlich noch die beiden Seiten von der Einheit ab, so ergiebt sich 



, a 2 — b 2 r 2 2 (cos 2 <p' 2 -f- sin 2 <p' 2 ) — r/ (cos 2 tp\ -f- sin 2 <p\) 

 a 2 r 2 2 cos 2 <p\ — rj 2 cos 2 y\ 



= _ (r 2 — fl ) (r 2 -f rQ 



(r 2 cos <p' 2 -j- r 1 cos <p\) (r 2 cos <p' 2 — r t cos (p\) ' 



d) Berechnung der Excentricität ans gemessenen Grradlängen. Die 

 Berechnung der neueren Gradmessungen stützte sich meistentheils auf 

 eine elegante Formel Bohnenberger's [119], welche wir nachstehend 

 herleiten. Berechnet man in Fig. 18 die Normale EH = n aus dem 

 Dreieck EMH, in welchem EM = V 7 x^ + y ± 2 , HM = s Xl und <£<p' 



b 2 



= arc tang (— tang cp) bekannt sind, so findet man, falls zur Abkürzung 

 a 



noch der halbe Parameter p eingeführt wird, 



n= . P- 



Vi — e sin 2 <p 

 Einem bekannten Lehrsatze der analytischen Geometrie zufolge ver- 

 hält sich aber der Krümmungsradius *) der Ellipse R im Punkte (x x , y,) 

 zur Normale n, wie das Quadrat dieser Normale zum Quadrate des 

 halben Parameters, d. h. es ist 



U=^ = E 



p 2 (1 — s 2 sin 2 <p) 8 '2 " 



Unter der Polhöhe <p sei nun ein Grad von der Länge G, unter einer 

 anderen Polhöhe <|> ein Grad von der Länge g gemessen worden; 

 kleine Ellipsenbögen darf man ohne nennenswerthen Fehler ihren 

 Krümmungsradien proportional setzen, und hat also**) 

 G : g = (1 — e 2 sin 2 <|>) 8 '* : (1 - s 2 sin 2 <p)\ 



*) Unter dem Krümmungskreise einer Kurve versteht man bekanntlich einen 

 Kreis, der durch drei benachbarte Kurvenpunkte (x, y), (x + dx, y -f- dy), (x — dx, 

 y — dy) hindurchgeht und der Kurve sich inniger anschmiegt als irgend ein an- 

 derer Kreis zu thun vermöchte. 



**) Diese Formel liefert auch den strengen Beweis für die früher nur ver- 

 anschaulichte Wahrheit, dass mit wachsender Polhöhe auf dem Umdrehungs- 

 ellipsoid die Gradlängen grösser werden müssen. Ist nämlich cp >> <p, so ist auch 

 e 2 sin 2 cp >> s 2 sin 2 <|> und (1 — s 2 sin 2 <jT) > (1 — s 2 sin 2 cp). Diese Eigenschaft er- 

 hält sich, wenn man jede der beiden Grössen auf eine beliebige Potenz erhebt, 

 und es ist also der Nachweis geführt, dass der unter einer höheren Breite cp ge- 

 messene Bogen G den unter einer niedrigeren Breite ^ gemessenen Bogen g an 

 Grösse übertrifft. 



