162 Zweite Abtheil. Allgem. mathem. u. physikal. Verhältn. d. Erdkörpers. 

 das dreifache Integral 



dx dy dz 



P ' 



■///-, 



1 y 





^fr^^^B 



(x - af + (y - bf + ( Z - c)' 

 dargestellt sein*). 



Ein einfaches Beispiel, welches wir Thomson-Tait [34] ent- 

 nehmen, mag den Berechnungsvorgang erläutern. In Fig. 22 ist OB 



Durchmesser einer Halbkugel vom 

 Fig. 22. Halbmesser A = AB = k und von 



^ der allenthalben gleich vertheilten 



Dichte p; die Anziehung dieser Halb- 

 kugel auf den Punkt ist zu finden. 

 Man wähle zum Ursprung eines 

 Orthogonalsystemes, die X-Axe falle 

 mit OB zusammen, die Z-Axe stehe 

 senkrecht auf dem Grundkreise. P sei 



)%C r ' J? X ein willkürlicher Punkt im Inneren 



der Halbkugel; man lege durch ihn 

 eine auf der XZ-Ebene senkrecht 

 stehende Ebene, welche aus der Kugel 

 den Kreis OR ausschneidet, und ver- 

 binde P mit durch eine Strecke, welche in ihrer Verlängerung über 

 P hinaus die Peripherie des zuletzt genannten Kreises in Q trifft. 

 Nunmehr kann man mit Vortheil an Stelle der rechtwinkligen polare 

 Koordinaten einführen. P ist fixirt: erstens durch seine Entfernung 

 PO = r vom Ursprung oder Pol 0, zweitens durch den<^QOR = <p 

 und drittens durch den <£ HOB = fr. Der Fahrstrahl r variirt zwischen 

 und OQ, zieht man noch die Hülfslinien RQ und RB, so folgt aus 

 den rechtwinkligen Dreiecken ORQ und ORB 



OQ = OR cos f = OB cos fr cos <p. 

 Der Winkel <p hat rechts und links zur Seite der OR einen Spiel- 

 raum von 0° bis 90°, während fr nur einmal von 0° bis 90° wachsen 

 kann. Das Körperelement dxdydz geht durch die polare Transfor- 

 mation in unserem Falle über in r 2 cos <p d <p d fr d r, die Entfernung OP= d 

 (s. 0.) ist in unserem Falle einfach = r zu setzen. Unser dreifaches 

 Integral von oben nimmt somit, wenn seine Funktion, zur Projicirung 

 auf O Z, mit cos <p sin fr multiplicirt wird, diese Gestalt an : 



K K 



2 2 2k cos fr cos cp 



p/sinfrdfr /cos 2 <p d<p / -j dr. 



— _ 



2 



4 

 Ohne Mühe findet sich hieraus die Anziehung = — p k längs OZ. 



o 





*) Für die kosmische sowohl wie für die tellurische Physik hervorragend 

 wichtig hat sich im Laufe der Zeiten die Aufgabe erwiesen, die Anziehung eines 

 Ellipsoides zu berechnen-, Paraira [32] und Grube [33] haben hierüber in 

 Monographieengehandelt. Wir entnehmen denselben, dass Newton das Problem 

 nur für einen speziellen Fall synthetisch löste, Cotes die von jenem nur ange- 

 deutete Integration wirklich ausführte, dass Stirling und Clairaut ebenfalls 

 nur Ellipsoide von annähernd kugelförmiger Gestalt behandelten, und dass erst 

 Mac Laurin mit dem Rotationsellipsoid in's Reine kam. Für das dreiaxige er- 

 brachte zuerst D'Alembert eine Lösung, die nicht viel weniger leistet, als man 



