II. §. 8. Die Clairaut'sche und die Unferdinger'sche Pendelformel. 179 



Da r 2 = x 2 -j- y 2 + z 2 , können wir jenes Potential P auch = — (d 2 r 2 



-|- ^- w 2 (x 2 -f- y 2 — 2 z 2 ) setzen, a sei der Halbmesser einer Kugel, 



welche sich mit der rotirenden Masse M annähernd vertauschen lässt, 

 ferner seien die Polarkoordinaten r, <p, &, wo <p die Breite, $ die Länge 

 bezeichnet*), mit den rechtwinkligen x, y, z durch die Gleichungen 



x = r cos # cos cp, y = r sin & cos <p, z = r sin <p 

 verbunden. Setzt man also in dem obigen Ausdrucke für's Potential 

 r = a, z = a sin cp, so wird 



P = y to 2 a 2 + — co 2 a 2 (— — sin 2 <p\ 



Das Schwungkrafts- und das Gravitationspotential ergeben für jeden 

 Punkt (r, <p, fr) der rotirenden Oberfläche eine konstante Summe; das 

 letztere Potential, welches P 2 heissen möge, ist sonach, unter F eine 

 nicht näher bestimmte Funktion verstanden, 



P ' = -T i 1 + F { f> d) ] ~T M ' a * (t ~ sin2 *)' 



a 

 Entwickelt man rechts nach steigenden Potenzen von — und lässt das 



r 



Funktionszeichen F in ähnlicher Weise weiter gelten, wie bisher, so 



ergiebt sich 



+ J F 3 ( ? , ») + • • ], 



M 



wo m für <* 2 a : — r gesetzt ward ; m bedeutet das Verhältniss der 

 a 



äquatorialen Centrifugalkraft zur Schwerkraft im Abstände a. Will 

 man die Grösse .7 der reinen (d. h. nicht von der Centrifugalkraft 

 entstellten) Schwere haben, so findet sich aus Obigem 



M / 3 1 \ 



T = -, (l +F, (?, *) - ~ m (j -sin 2 ? ) + 2F 2 (?, ») +3F 3 (?,*)+. . .). 



Die Beschleunigung g der sichtbaren Schwere endlich resultirt hieraus 



durch Subtraktion der radialen Schwerkraftskomponente, deren Ausdruck 



/2 1 \ 



I — o) 2 a -f- or a (— — sin 2 tp) I ist ; so folgt 



g =-^-(l -|-m + F, (<p, ») - -l m (i - sin 2 ? ) + 2F 2 fr, A-) 



+ 3 F 3 ( ? , ») + . . .). 



Noch ist über die Funktionen F nicht verfügt worden; wir können jetzt 



F, (<p, fr) = a (1- — sin 2 cp), F k (<p, fr) == . . . (k > 2) 



*) Um mit früher gebrauchten Bezeichnungen möglichst im Einklang zu 

 bleiben, konnte die Bezeichnungsweise der britischen Physiker nur zum Theile 

 beibehalten werden. Auch die Darstellung musste im Interesse der Gemeinver- 

 ständlichkeit einigermassen paraphrasirt werden. 



