III, §. 7. Definition und Bestimmung des Geoides nach Bruns. 201 



Geoide einen Ausdruck zu suchen, der die wahre Form derselben bis 

 auf Quantitäten von der Ordnung der Beobachtungsfehler angiebt." 

 Bruns spricht hier fast mit denselben Wendungen einen Gedanken 

 aus, dem schon ein Geometer des XVIII. Jahrhunderts Ausdruck ver- 

 lieh, als er sich gegen die Sucht seiner Zeitgenossen wandte, durch 

 Entwicklung in Potenzreihen für jede Aufgabe der mathematischen 

 Physik eine stereotype Lösung erzwingen zu wollen [41]. Den Namen 

 des klugen Mannes hat man uns leider nicht überliefert. 



Wenn nun auch, wie erwähnt, die Krümmung der Geoidfläche, als 

 lediglich von den ersten Ableitungen beeinflusst, durchweg eine stetige 

 sein muss, so verhält es sich doch ganz anders mit dem sogenannten 

 Maasse der Krümmung, in dessen analytischen Ausdruck bekanntlich 

 auch zweite DifFerentialquotienten eingehen. Dieses Krümmungsmaass 

 erleidet sprungweise Aenderungen. Im Allgemeinen sind die Geoide 

 durchaus nach aussen konvex, doch ist an sich eine gegentheilige 

 Krümmung keineswegs ausgeschlossen. Dass die Niveauflächen der 

 Erdkruste keine konkaven Stellen besitzen, lässt sich mit grosser Wahr- 

 scheinlichkeit aus dem Umstände erschliessen, dass Lothstörungen von 

 besonders grossem Betrage zur Zeit nicht bekannt sind. Die tiefer 

 in der Erde gelegenen Niveauflächen besitzen dagegen zweifellos jenen 

 wellenförmigen Durchschnitt, welchen wir auch auf unserer Fig. 33 

 zum Ausdruck zu bringen versucht haben. 



Erwähnt sei noch, dass man für das Wesen der bisher rein ana- 

 lytisch aufgef'assten Niveauflächen auch eine noch weit übersichtlichere 

 Anschauung gewinnen kann, sobald man mit Zech [42] den Begriff 

 der mathematischen Arbeit zu Hülfe nimmt. Jeder von einem Geoid 

 umschlossene Körper darf als ein centrobarischer gelten, und es ist 

 somit auch erlaubt, nach wie vor von einem Erdmittelpunkte zu reden. 

 Denkt man sich nun von diesem Punkt aus einen materiellen Punkt 

 nach verschiedenen Richtungen fortgeschoben, so erfüllen alle Punkte, 

 bis zu welchen der fragliche Massenpunkt in der nämlichen Zeit mittelst 

 Aufwendung des nämlichen Arbeitsquantums emporgehoben werden 

 konnte, eine Niveaufläche, welche demgemäss natürlich auch eine ge- 

 schlossene sein muss. Dass diese Flächen in einer homogenen oder 

 doch wenigstens in koncentrischen Ringen eine gleiche Massenverthei- 

 lung aufweisenden Kugel selbst sphärisch sein müssen, leuchtet ein, und 

 nicht minder wird klar, dass, wenn die Vertheilung der Masse keine 

 reguläre ist, auch die mit dieser Anordnung im allerengsten Zusammen- 

 hange stehenden Niveauflächen keinen geometrisch-regulären Charakter 

 besitzen können. 



Konstruirt man die orthogonalen Trajektorien der Geoide, Kurven, 

 welche die Flächen sämmtlich unter rechten Winkeln durchschneiden, 

 so erhält man die sogenanten Kraftlinien, deren Berührende im 

 Durchschnittspunkt die Gravitationsrichtung anzeigen. Diese Kurven 

 sind stetig gekrümmt, ohne Spitzen oder Rückkehrpunkte, wohl aber 

 ist ihr Krümmungsmaass ebenso wie das Azimut ihrer Schmiegungs- 

 ebenen den von der Massenvertheilung abhängigen Unstetigkeiten 

 unterworfen. 



Treten wir jetzt der mathematischen Betrachtung der Geoide 

 näher. Wie oben (in Fig. 31) seien x, y, z die Koordinaten eines 

 beliebigen Punktes P; x', y', z' diejenigen eines Massenelementes dm 



