202 Zweite Abtheil. Allgem. mathem. u. physikal. Verhältn. d. Erdkörpers. 



des Erdkörpers; das Potential von dm ist dann 



Q= f dm 



J V(x - xj + (y - y') 2 + (8 — z'f ' 



Wenn, wie in unserem Falle, r = Vx 2 -f- y 2 -f- z 2 einen hinreichend 

 grossen Werth hat, so kann ü in eine Reihe nach fallenden Potenzen 

 von r entwickelt werden, und zwar wird, Vx' 2 -|- y' 2 -|- z' 2 =r* gesetzt, 



Q = -i/dm+ i/dm (xx' + yy' + zz') + 



1 f. 3 (xx' + yy' + zz') — r 2 r' 2 



2^ ./ dm ■ 2 + • • • 



Da über die Wahl des Koordinatensystems nichts vorausgesetzt war, 

 so können wir dessen Axen mit den im Schwer- oder Mittelpunkt der 

 Erde zusammentreffenden Hauptträgheitsaxen des Erdkörpers 

 identificiren ; ist dann M die Erdmasse, MA, MB, M C je eines der 

 Trägheitsmomente*) für diese Axen, so gelten nach bekannten Sätzen 

 der Dynamik nachstehende Relationen: 



/dm = 0, /x / dm===/y / dm = / > z'dm = A'y'dm =/y / z / dm = 



/z'x' dm = 0, /dm (y /2 + z /2 ) = MA, /dm (z /2 + x' 2 ) = MB, 



/dm(x /2 + y /2 ) = MC; 

 das zweite Glied der obigen Reihe kommt in Wegfall, und man hat 



ß =y + ^7r[ x2 (B+C-2A)+y 2 (C+A-2B) 



+ z 2 (A + B - 2 C)] + . . . 



Lassen wir alle Glieder dieser Reihe, mit Ausnahme der wirklich hin- 

 geschriebenen, bei Seite, so ist Q annähernd gleich diesem Ausdruck U, 



und wird hiezu noch das Schwungkraftspotential — cd 2 (x 2 -)- y 2 ) addirt, 



Li 



so hat man die Kräftefunktion W, resp. man hat empirisch die Ueber- 

 zeugung gewonnen, dass die Differenz 



W-(ü + i-o> 2 (x 2 + y 2 )) 



für alle Punkte der Erdrinde klein genug ist, um in erster Annäherung 

 vernachlässigt werden zu können, und lediglich diesem Faktum hat 

 man es zu danken, dass der an sich ungerechtfertigte Versuch, ein 

 Erdellipsoid geodätisch und zugleich durch Pendelbeobachtungen dessen 

 Abplattung ermitteln zu wollen, noch so leidlich gelungen ist. Die 

 Flächen U = Konst. wären die geeigneten geometrischen Vertreter der 

 nun einmal nicht geometrisch, sondern allein mechanisch definirbaren 

 Geoide; freilich sind auch erstere keine eigentlichen Sphäroide, aber 

 doch harmonische Sphäroidalflächen im Sinne der Thomson-Tait- 

 schen Terminologie. 



*) Wir erinnern daran, dass für ein Massenelement dm, welches mit einem 

 Schwungradius r rotirt, das Trägheitsmoment für jene Rotätionsaxe durch r 2 dm 

 auszudrücken ist. Hat man es nicht mit einem Elemente, sondern mit einem 

 ganzen Körper zu thun, so ist durch einen Summations-, resp. Integrationsprocess 

 der Ausdruck über alle dem Körper angehörende Elemente zu erstrecken. 



