IV, §. 8. Die Kepler'schen Gesetze. 



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beschreiben. Die Centripetalkraft dagegen treibt ihn um die Strecke D F, 

 die im Allgemeinen von AC an Grösse verschieden sein wird. Am 

 Ende des zweiten Zeittheiles ist somit der bewegte Punkt in E, dem 

 Endpunkte der Diagonale DE des 



Fig. 45. 



Parallelogrammes DFEH, und 

 scheint sich nach G weiterbewegen 

 zu wollen. Nun kommt der Satz, 

 dass zwei Dreiecke von gleicher 

 Grundlinie und Höhe flächengleich 

 sind, zweimal zur Geltung; es ist 

 danach ASAD^ASDH und 

 ASDH == ÄSDE, also durch 

 Komparation ASAD = ASDE. 

 Nimmt man die beiden Zeittheile 

 unendlich klein, so verwandelt sich 

 die gebrochene Linie ADE in 

 eine gekrümmte, und der Satz ist 

 bewiesen. 



Beweis ZU IL Das zweite Gesetz lautet in der ihm von Newton 

 ertheilten Verallgemeinerung so : wird ein Körper durch einen ein- 

 maligen Stoss in Bewegung gesetzt*) und zugleich von einem anderen 

 Körper im umgekehrten Verhältnisse des Quadrates der Entfernung 

 angezogen, so beschreibt er eine Kurve zweiter Ordnung, in deren 

 einem Brennpunkte jener zweite Körper steht. Beim Beweise dieses 

 Lehrsatzes ist die höhere Analysis nicht wohl zu entbehren. Der sich 

 bewegende Punkt erfahre in der Entfernung r vom Centralkörper 

 nach diesem hin die Beschleunigung y, in der Entfernung r' die Be- 



schleunigung y': dann gilt die Proportion y *<t' = 



1 1 



woraus, 



unter k die Konstante y' r /2 [verstanden, y = — folgt. Es ist also, 

 wenn C die Integrationskonstante bedeutet, 



r 



(i). 



Die Differentialgleichungen aber sind folgende: 



d 2 x x d 2 y y 



multiplicirt man erstere mit dx, letztere mit dy und addirt beide 

 hierauf, so findet sich 



dx . d 2 x-f dy . d 2 y 

 dt 2 



r 



7 d 7) 



(2). 



'") Die Annahme dieses primären Stosses bildet den einzigen nicht aufge- 

 klärten Punkt des wohlgefügten N e w t o n'schen Systemes, und in der That scheint 

 diese Annahme nicht durch Besseres verdrängt werden zu können. Denn auch 

 die Kant-Laplac e'sche Nebulartheorie leistet, wie wir uns aus Kap. I. der ersten 

 Abtheilung entsinnen, nicht die gewünschte Aushülfe; der Fragepunkt wird durch 

 dieselbe nicht aus der Welt geschafft, sondern nur verschoben, indem jetzt nach 

 der Ursache zu forschen ist, welche in der gleichmässig vertheilten Urmasse die 

 erste Bewegung einzelner Massentheile einleitete. Und eine solche Ursache ist 

 (s. o.) zur Zeit noch nicht bekannt. 



