248 Zweite Abtheil. Allgem. mathem. u. physikal. Verhältn. d. Erdkörpers. 



Der Zähler der linken Seite der Gleichung (2) ist das vollständige 

 Differential von — (dx 2 -|- dy 2 ), rechts in der Klammer steht ebenso 



Li > 



das Differential von -=- (x 2 -f- y 2 ) = — - r 2 , also erhält man, da dr 2 = 2 rdr 



'— — 



ist, sogleich folgende Differentialgleichung sammt ihrem Integrale: 

 ,/dx 2 + dy 2 \ T _ dx 2 + dy 2 n , r _ 

 H W )= r'** M = C'-/ T dr (3); 



hier bedeutet C eine neue Konstante. Gehen wir jetzt von den ortho- 

 gonalen Koordinaten zu polaren (r, <p) über, so haben wir die be- 

 kannten Umformungen zu machen: 



x = r cos <p , y = r sin <p , d x = cos <pdr — r sin <p d <p , 

 dy = sin cpdr -f- * cos <pd(p. 

 Thun wir diess, so nimmt (3) folgende Gestalt an: 



*%i " =*-*/•** w- 



Das uns bereits bekannte erste Kepler 'sehe Theorem gestattet in 

 der Sprache der Differentialrechnung, wenn c eine Konstante bedeutet, 

 ersichtlich diese Fassung: r 2 d<p = cdt; eliminirt man aus dieser und 

 Gleichung (4) das Zeitelement dt, so erhält man : 



p 2 2 2 2 ,. 



f+w = c '~ 2 > dr (5) - 



Hierin ersetzt man den Integralwerth durch den aus Gleichung (1) 

 zu entnehmenden und bekommt die neue Gleichung (C — 2C = C") 



r 2 ' rdf r ' r 



oder, wenn noch r = p" 1 gesetzt und nach d<p aufgelöst wird, 

 j ±cdp . 



v-+^--(--t)" 



Die Integration nach p ergiebt keine Schwierigkeiten ; es folgt aus (6) r 



wenn ( — <p') die neu einzuführende Konstante vorstellt, 



k 

 op- T 



<p — 9= arc cos 



v/ 



k' 



c " + -^ 



Geht man vom Arcus zum Kosinus über und setzt <p — <p' — <|>, so wird 

 cp — — = cos<f . yc*-+— f 



und setzt man wiederum für p seinen obigen Werth r" 1 , setzt man 



C" c 2 

 weiter der Kürze wegen c 2 = kp, 1 -j p — = e 2 , so gelangt man 



zu der den Radiusvektor durch die Amplitude ausdrückenden Schluss- 

 gleichung : 



r== p . 



1 -j- e cos <|> 

 Diess ist aber die Polargleichung eines Kegelschnittes, und zwar fällt 



