V. §, 5. Flächenmessung. 293 



dass man weit genauer rechnet ; wenn man der üblichen Formel 



Arithm. Mittel = — (j t + y 2 + y 3 + . . . + y.-i + jd 



den anscheinend paradoxen Ausdruck 



Arithm. Mittel 



i(f +y, + y3 + -.. + y»- I + f) 



substituirt. 



b) Simpson'sche Regel. Rationeller ist die von Simpson [160] 

 gegebene Vorschrift , welche die zwischen den einzelnen Ordinaten 

 gelegenen Kurvenstücke, statt mit geraden Linien, mit den sich ihnen 

 weit besser anschmiegenden Bogen einer Parabel vertauscht, wenigstens 

 soweit blos paare Ordinaten in Frage kommen. Welcher Art also etwa 

 der Bogen zwischen y 6 und y 7 sei, bleibt unerörtert, der Bogen zwischen 

 y c und y 8 dagegen gilt seiner ganzen Ausdehnung nach als parabolisch. 

 Da nun einem von Archimedes ausgehenden Satze zufolge jedes 

 Parabelstück leicht quadrirt werden kann, so ist, unter n eine gerade 

 Zahl verstanden, der Flächeninhalt des obigen Trapezes gleich 



-A r [ yi _ y .+.2. ] 2 i Gr.* + y.i-0} 



Eine möglichst einfache rechnerische Deduktion dieser Formel 

 giebt R. Wolf [161]. Verfeinerte Methoden dieser Art besitzt man von 

 Cotes, Stirling und ganz besonders von Gauss; doch ist es nicht 

 wahrscheinlich, dass diese mechanische Quadratur direkt geophysi- 

 kalischen Zwecken förderlich werden könnte. Eine gute Spezialschrift 

 ist diejenige Mansion's „Sur l'evaluation des aires planes" (Gent 1882). 



c) Methode der Wägung. Man wiegt das herausgeschnittene 

 Flächenstück auf einer feinen Wage ab und thut ein Gleiches mit 

 der Flächeneinheit. Das Gewichtsverhältniss ist daun auch das ge- 

 suchte. Auf diesem überaus mühsamen Wege ist Rigaud (s. o.) vor- 

 gegangen, auch erscheint es nicht unwahrscheinlich, dass in ähnlicher 

 Weise Archimedes manche überraschende Thatsache ermittelt hat, 

 um sie nachher erst strenge zu erweisen. 



d) Instrumentale Messung. Das Princip dieser vielgestaltigen 

 Methode scheint uns Pur vis durch die nachfolgende Betrachtung [162] 

 am Besten verdeutlicht zu haben. Ein geradliniger Stab AB = 1 

 (Fig. 57) gelange nach und nach in die Lagen 



EF, GH, JK, CD, so dass er schliesslich das Fig. 57. 



gemischtlinige Viereck ABDC überstrichen hat. x E 



Bezeichnet man mit f dessen Inhalt, mit n die \ 



Länge des Weges, welchen der Mittelpunkt des \ 



Stabes während der Bewegung senkrecht gegen \ 



die Anfangsrichtung zurückgelegt hat, so ist \ 



f=ln. Wird senkrecht zum Stabe ein von \ 



dessen beiden Enden gleichweit entferntes Rad \\l\c y s' 1 



angebracht, so messen dessen Umdrehungen den ^ ^T) 



Weg n. Ist dagegen das Rad nicht am Stabe 



selbst, sondern, bei sonst gleicher Richtung, um 



m Längeneinheiten vom Mittelpunkt entfernt angebracht, so ist die 



Grösse der Raddrehung = n — m@, wo den von AB und CD 



