III, §. 2. Die Gauss'sche Theorie. 41 



tische Potential jenes Elementes unschwer zu ermitteln. Zieht man 

 nämlich AC^ BC und AB, so liefert der Cosinussatz die Gleichung 

 ab' == d- = r' + p' — 2rp cos « AGB). Die Linie OB schneidet 

 die Kugelfläche in B'; werden A und B' durch Hauptkreisbögen unter 

 sich und mit dem zunächst gelegenen Pole P verbundep, so ist cos AB' 

 = cos (<^ APBO := sin ^ sin ^' + cos ^ cos ^ cos ((j; — ^'). Führt 

 man diese Werthe ein, so erhält man die Potentialiunktion unseres 

 Elementes in r, p, ^, ^, ^^ , ^' ausgedrückt, und da die Breiten zwischen 



TZ TT 



— und "- resp. und %, die Längen aber zwischen und 27c 



a Li 



variiren, so ist das magnetische Gesammtpotential der Erd- 

 oberfläche gegeben durch den Ausdruck 



^ _ ^, l"" r^ sin ^'F (y,f ) df d^' 



~ ^ (^' + P' — 2^P (^^^ ^ ^i^ ^' + ^^^ ^ ^^^ ^' ^^^ (^' ~~ ^)) )''' 

 Es greift nunmehr die von Dirichlet aufgefundene und nach dessen 

 Vorträgen von seinem Schüler F. Meyer [17] systematisch begründete 

 Entwickelung nach sogenannten Kugel Funktionen Platz, welche 

 wesentlich auf die im I. Bande, S. 179 behandelte Reihendarstellung 

 hinauskommt, hier aber nur erwähnt sein möge. Dieselbe führt, wenn 

 ao, bo, Co . . . aj . . . Ci . . . Erfahrungskoefficienten sind, zu dem 

 Resultate 



V = — Y ^0 sin ^ -J- (bo sin tj; -|- Cq cos ^) cos 'ö- 



r^ r 1 



-\ ^ ai (sin^ ^ —) -\- cos ^ sin ^ (bi sin ^ -\- Ci cos ^) 



p L o 



-f- sin^ ^ (dl sin 2 (|> -f- Ci cos 2 (jj) -j- . . . 



Nun vollziehen wir den Uebergang von den polaren zu rechtwinkligen 

 Koordinaten, indem wir (s. d. Figur) z = p sin '0-, y = p cos -ö- cos ^, 

 X = p cos ^ sin ^ setzen. Dadurch geht unser Ausdruck über in 



r^ r* r / 1 \ 



V = -F (aoz + boX + coy) + --^l^ai \z^ — y P'J + ^i^z + 2diyz 



+ e, (y^ - zO] + . . . 



Wenn wir aber jetzt die drei Koordinaten axen parallel mit sich selbst 

 so verschieben, dass der Ursprung des Systemes in den Punkt B fällt, 

 wenn wir ferner die alten Koordinaten von A mit x', y', z' und die 

 Koordinaten im neuen Systeme mit X, Y, Z bezeichnen, so kann es 

 durch eine weitere Reihenentwickelung, bei welcher die nicht ins Ge- 

 wicht fallenden Glieder vernachlässigt werden, dahin gebracht werden, 

 dass, unter Vo eine gewisse Konstante, unter R der Ausdruck 

 Vx'^ + y + z'^ verstanden, 



V = Vo+-?^Z+A^X + -^Y 



wird. Diess ist, geometrisch gedeutet, die Gleichung einer Ebene, 

 welche magnetisches Feld genannt wird. Nähere Ausführungen 

 enthält u. a. die oben citirte Schrift von Rüter. 



