11, §. 7. Die Methode der kleinsten Quadrate. 115 



völlig genau befriedigt, vielmehr ergiebt sich für jede einzelne ein 

 sogenannter Fehler, dena offenbar resp. die Werthe 



Fl = ai X -[- bi y — Ci , Fg = as x + ba y — c,, . . . 

 . . . F„ = an X + b„ y — c^ 

 zukommen. Würde man dem ersten sich darbietenden Gedanken nach- 

 geben, so würde man die Summe dieser sämmtlichen Fehler gleich 

 einem Minimum setzen. Eine einfache Ueberlegung ergiebt aber, dass 

 diese Fehler ebensowohl positiv, wie negativ sein können, und dass 

 sie daher, wenn man ihnen dasselbe Vorzeichen verleihen will, vorher 

 sämmtlich auf die zweite Potenz erhoben werden müssen, d. h. es soll 



Ff + F/ 4- . . . -f- F,^ = Minimo 

 sein. Wenn aber eine Funktion f (x, y) von zwei Veränderlichen ein 

 Minimum sein soll, so gelten der Differentialrechnung zufolge die Re- 

 lationen :=: = 0, unter der weiteren und hier zulässigen 



9x Oy ^ ' 



Voraussetzung allerdings, dass auch die zweiten Differentialquotienten 

 einer bestimmten Bedingung genügen. Wir führen die Quadrater- 

 hebungen wirklich durch, setzen aber kürzer 



aa 



= ai' + üi + . . 





ab 



= ai bj + a^ b. + 



• . . + a, b, , 



ac 



= ai Cj + a2 C2 -f 



. . + a. b„ 



bb 



= bf + b/ + . . 



. + V, 



bc 



= bi Ci -f b2 C2 + 



• • + b, c„ , 



cc 



= cf -f er + . . . 



+ C.I 



Dann ist 



|Fi^=[aa]x^-f 2[ab]xy+[bb]y2~2[ac]x — 2[bc]y+[cc] = Minimo, 



2 [aa] X + 2 [ab] y — 2 [ac] = 0; 2 [bb] y + 2 [ab] x — 2 [bc] = 0, 

 und hieraus fliessen als die wahrscheinlichsten Werthe für x und y 

 die folgenden: 



[ac] . [bb] - [ab ] . [bc] [aa] . [bc] - [ab] . [ac] 



~ [aa] . [bb] - [ab]^ ' ^ ~ [aa] . [bb] — [ab]^ ' 

 Unsere Aufgabe ist somit endgültig gelöst. 



Nunmehr liegt es aber für Jedermann am Tage, weshalb das 

 von uns befolgte Verfahren mit allem Rechte die Methode der kleinsten 

 (Fehler-) Quadrate genannt werden darf. Seit 1795 kannte Gauss, 

 damals ein achtzehnjähriger Jüngling, dieses Hülfsmittel, Beobachtungen 

 auszugleichen, allein wenn er nicht in seinem ersten astronomischen 

 Werke diese seine Priorität wahrgenommen hätte [140]*), so würde 

 lange Jahre Niemand etwas hiervon gewusst haben, denn erst 1821 

 trat er mit seiner grundlegenden Abhandlung über den Gegenstand 

 hervor [142], während Legendre und Laplace, nach R. Wolfs 

 Angabe [143], weit früher schon ähnliche, wenn auch minder voll- 



'") „Merian erzählt, Daniel Huber habe .schon in früheren Zeiten durch 

 eigenes Nachdenken, die späterhin durch Gauss und Legendre bekannt ge- 

 wordene Methode der kleinsten Quadrate, zur Ausmittelung des wahrscheinlichsten 

 Ergebnisses, aus einer Reihe von Beobachtungen., aufgefunden*". — aber leider ver- 

 säumte er es jedenfalls, durch rechtzeitige Ausarbeitung eine so schöne Entdeckung 

 mit seinem Namen zu vereinigen" [141]. 



