262 PROFESSOR TATT ON THE ROTATION OF A 



are ; for, in reading a work illustrated by figures, we have generally to go through 

 a laborious explanation of what the figure is intended to represent before we can 

 make use of it for further developments. On the other hand, a purely quaternion 

 formula draws, as it were, its own figure in the reader's mind, and saves him at 

 least the trouble just mentioned. In this way every one has his figures drawn 

 so as best to suit himself, and is not perplexed by having to pick up the prin- 

 ciples on which they have been drawn for him by another, very probably of a 

 different mode of thought. Still, such words as the following, when properly 

 applied, not to quaternions but, to ordinary so-called analysis, must always convey a 

 much-needed warning : — " Gardons-nous de croire qu'une science soit faite quand 

 on l'a reduite a des formules analytiques. Rien ne nous dispense d'etudier les 

 choses en elles-memes, et de nous bien rendre compte des idees qui font l'objet 

 de nos speculations. N'oublions point que les resultats de nos calculs ont pres- 

 que toujours besoin d'etre verifies, d'un autre cote, par quelque raisonnement 

 simple, ou par l'experience. Que si le calcul seul peut quelquefois nous offrir 

 une verite nouvelle, il ne faut pas croire que, sur ce point meme, Tesprit n'ait 

 plus rien a faire : mais, au contraire, il faut songer que, cette verite etant inde- 

 pendante des methodes ou des artifices qui ont pu nous y conduire, il existe 

 eertainement quelque demonstration simple qui pourrait la porter a l'evidence : ce 

 qui doit etre le grand objet et le dernier resultat de la science inathematique." 



" Ce n'est qu'une apparente fecondite de cette methode de pur 



calcul qu'onappelle assez improprement V analyse. Car si les theoremes sont deja 

 connus on decouvre bien vite les transformations a faire pour que les equa- 

 tions y repondent ; mais quand on n'a aucune idee de ces theoremes, on ne trans- 

 forme guere qu'au hazard, et le plus souvent on n' arrive a rien. La vraie analyse 

 est dans l'examen attentif du probleme a resoudre, et dans ces premiers raison- 

 nements qu'on fait pour le mettre en equations. Transformer ensuite ces Equa- 

 tions, c'est-a-dire les combiner ensemble, ou en poser d'autres evidentes que Ton 

 combine avec elles, n'est au fond que de la synthese; a moins que l'idee de 

 chaque transformation ne nous soit donnee par quelque vue nouvelle de l'esprit, 

 ou quelque nouveau raisonnement, ce qui nous fait rentrer dans la veritable analyse. 

 Hors de cette voie lumineuse, il n'y a done plus d'analyse, mais une obscure 

 synthese de formules algebriques que Ton pose, pour ainsi dire, Tune sur 1' autre, 

 et sans trop prevoir ce que pourra donner cette combinaison. Voila les idees 

 nettes qu'il faut attacher aux mots : et e'est au fond ce que tout le monde parait 

 sentir, puisqu'on dit tres-bien une heureuse transformation, et qu'on ne dit point 

 un heureux raisonnement, ni une heureuse analyse." 



I was led to the following investigations by a desire to simplify, if possible, 

 by a symmetrical process, the usual modes of treating the rotation of a rigid body. 

 The methods ordinarily employed are essentially unsymmetrical, e.g. the determi- 

 nation, by means of three angles, of the position of the body at a given time, when 



