ser mA 
24 ALF GULDBERG. [No. 6. 
infinitesimale transformationer. I sine grundlæggende arbeider * 
over almindelige differentialligninger, der tilsteder en trans- 
formationsgruppe, beskjæftiger Lie sig med det tilfælde, at det 
almindelige integral er invariant overfor en given gruppe og ud- 
taler i henhold hertil den vigtige sats: 

Enhver almindelig differentialligning af 1ste orden mellem 
to variable tilsteder uendeligt mange infinitesimale transforma- 
tioner*, samt tilføier, at for differentialligninger af heiere orden 
finder en lignende sats ikke sted. 
I de følgende linjer vil vi, idet vi holder os til -differential- 
ligninger af 2den orden, først undersege det tilfælde, at ef 
almindeligt første integral er invariant ved en transformations- 
gruppe i æ,%,/y, og behandle dette tilfælde, idet vi tænke os 
den givne differentialligning bragt, som oven nævnt, paa formen 
af en integrabel total lineær differentialligning. Det viser sig 
da ganske analogt som for differentialligninger af lste orden, at 
enhver almindelig differentialligning af 2den orden tilsteder * 
uendeligt mange infinitesimale transformationer, samt at kjend- 
skabet til en infinitesimal transformation, der lader et alminde- 
ligt første integral invariant, er æquivalent med kjendskabet til 
en integrationsfaktor for den integrable totale lineære differen- 
tialligning. Der kan imidlertid ogsaa indtræde det tilfælde, at 
en infinitesimal transformation ikke lader et almindeligt første 
integral invariant, men lader indbegrebet af fo almindelige første 
integraler, hvoraf samtlige øvrige almindelige første integraler 
bestemmes, invariaut, idet den ombytter de enkelte første 
integraler, et tilfælde, der implicite er behandlet af Lie, under 
forudsætning af, at den infinitesimale transformation er en udvidet 
punkttransformation. Behandlingsmaaden bliver imidlertid ganske 
analog i det her foreliggende almindeligere tilfælde og giver en 
på 
efr. Lie: Math. Annal. b. 32. 
Her menes altsaa, at en differentialligning af 2den orden tilsteder en 
infinitesimal transformation, naar et almindeligt første integral er 
invariant ved en infinitesimal transformation: 
of of 
TL = I d ; I 
Ur=&(.y,y) = + &lx,y,y) dy pg $(290) gr 
2] 
