1895.] INTEGRATION AF DIFFERENTIALLIGNINGER. 43 
tialligninger af 3die orden. Overfor disse spiller berøringstrans- 
formationer samme rolle som punkttransformationer overfor diffe- 
rentialligninger af *den orden, 9: kun et begrænset antal diffe- 
rentialligninger af 3die orden tilsteder berøringstransformationer. 
Ligningen til bestemmelse af W simplificerer sig ofte ret 
betydeligt. Et vigtigt tilfælde indtræder, naar den infinitesimale 
bereringstransformation Uf lader det Pfaffske udtryk dy — y'dz 
Å ; oWw MED: 
invariant, altsaa rd. ; ligningen antager da, som man ser, 
V) 
formen: 
22W 32W 2W va , | 
aa tet sep ag TY ay) 
| 230 ge, 
ox dy" yy — 
Vi har i de foregaaende undersøgelser forudsat, at y” kun 
optraadte lineært i den givne differentialligning: 
Fy" yy) =0. 
Det staar derfor tilbage at betragte det almindelige tilfælde, 
at F ikke er lineær med hensyn til y”. Vi indskrænker os her 
til det tilfælde, at man kan bringe F' paa følgende form: 
7 FE SOG) 
hvor Pi På... P, er funktioner af æ,y, 7". 
Lad p1p2../Pn betegne rødderne i ligning (I) opfattet som 
algebraisk ligning i y”; man kan da sætte den under formen: 
GP TG == 
hvor pi p2.. pn er funktioner af æ, y, 7". 
Enhver forbindelse mellem z,y,y' Som bringer en af disse 
første grads faktorer til at forsvinde, er et første integral i den 
givne differentialligning. Seger vi derfor et første integral i de 
enkelte differentialligninger af 2den orden: 
y" — pi(x,y,y") == 0, gj” — pa(x,4,9") =0Q.ams y" — Prl2,4,9") Fr 0, 
