44 ALF GULDBERG. [No. 6. 
vil enhver af de fundue lesninger tilfredsstille den givne diffe- 
rentialligning (I). 
Betegner vi de respektive forste almindelige integraler i 
disse differentialligninger henholdsvis med: 
Vi(z,y,y,01) =0, Va(x,y,y,02) — V a006 V.(z yy) == 0, 
vil ogsaa et hvilketsomhelst produkt af disse udtryk være et 
første integral i den givne differentialligning. 
Betragter man produktet af samtlige disse udtryk: 
Vi(z,y,y'a1) . Ve(z,y,y'as) ....V (x,y,y01) =0, 
saa vil alle første integraler (selvfølgelig kun af en serie) i den 
givne differentialligning (I) være indeholdt heri, og i dette pro- 
dukt kan man uden skade for udtrykkets almindelighed sætte 
de arbitrære konstanter a;j a2..a, ligestore; et almindeligt første 
integral i den givne differentialligning er saaledes: 
Vi(x,y,y",a) Ve(z,y,y,0) ...V (x,y,y,a) = 0. (ID 
Søger man paa samme maade et andet almindeligt første 
integral i differentialligningerne: 
y" — pay) =0, y" —p(xyY) =0,---Y" — PA) =0 
og betegner disse respektive med: 
U(x,y,y bi) =0, Us(2,1,4 be) =0 2 Ur y,y bn) =0, 
vil analogt et andet almindeligt første integral i den givne 
differentialligning (I) være: 
U(2x,y,y b). Usfz,y,y0) . >. Un(zy,y pb) = 0. (IT) 
Det almindelige integral i den givne differentialligning findes 
saaledes ved elimination af y' mellem ligningerne (II) og (III) 
under formen: 
flæy,ab) = 0. 
I den foregaaende udvikling har det ledende princip altid 
været bestemmelsen af et almindeligt første integral: 
p(2,Y,y") = const. 
