1895.] INTEGRATION AF DIFFERENTIALLIGNINGER. 47 


Der findes imidlertid almindelige første integraler af den 
beskaffenhed, at hvis man har bestemt et almindeligt første 
integral p=4, saa findes det almindelige integral ved elimina- 
tion af y mellem p=a og F(p)=0. Vi har allerede tidligere 
omtalt dette, idet vi nævnte, at af de to almindelige første inte- 
graler, der bestemmer det almindelige integral i den givne diffe- 
rentialligning, kan det ene være funktion af det andet paa aller 
simpleste maade, idet de simpelthen begge er af samme form. 
Denne egenskab ved to almindelige første integraler, der be- 
stemmer det almindelige integral, er ikke blot karakteristisk for 
visse specielle differentialligninger eller for visse enkle klasser 
af differentialligninger, men hos enhver differentialligning findes, 
hvad vi vil kalde, principale almindelige første integraler. 
Lad det almindelige integral i den givne differentialligning: 
Fy" yiys)=0 
Åx,y,ab) =0, 
hvor a og b betegner to arbitrære konstanter. Sætter man: 
a=a+, b=a.6, 
antager det almindelige integral formen: 
f(x, y, å + 8,08) =0, 
hvor altsaa de nye arbitrære konstanter ax og 3 optræder sym- 
metrisk. Enten man derfor opleser denne ligning med hensyn 
til ax eller 2, erholder man samme funktion: 
være: 
a =V(x,y,8) og 8 =V(x,y,a). 
Følgelig vil ogsaa de to almindelige første integraler, hvilke 
man erholder ved derivation respektive af «== V og 3 =V, være 
af samme form og opløst med hensyn til 2, respektive a, være: 
BEE WÅZ,4Y:Y), gs VÅZY1Y), 
af hvilke to udtryk igjen det almindelige integral i den givne 
differentialligning erholdes ved elimination af 7. 
Man kan derfor udtale følgende sætning: 
Enhver differentialligmng af &den orden besidder principale 
almindelige første integraler. Har man fundet et principali 
