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Auf diese Weise habe ich ohne allzugrosse Miihe die Zahl 

 p 20 =92 256 259 918 212 890 625 



gefunden, aus der nach (2) p' 20 =07 743 740 081 787 109 376 

 folgt. Wåre es nun moglich, dass die Zahl p n von irgend einem 

 gewissen n an periodisch wiirde? In diesem Falle miisste 



4) p 2n = 10 n jp„ + p» = p n (10" + 1) 



sein. Da aber^ 2 n = (mod. 5 2n ) und p n = (mod. 5 W ) ist, so 

 wtirde aus (4) 10 w -J- 1 ^ (mod. 5") folgen, was nicht angångig, 

 also kann die Zahl p n nicht periodisch werden. Dagegen folgt 

 aus (1), wenn man beide Seiten mit p n multipliciert, 



Pn 3 = 10"a„ p n + Pr? = 10 n O, n {p n + 1) + p n = 10 n A n -f p n 



und wenn man in gleicher Weise fortfåhrt und beide Seiten mit 

 einer beliebigen Potenz von p n multipliciert, so erhålt man: 



p n l=10 n a n +p n 



d. h. die Zahl p n (u. ebenso p' n ), welche die Gleichung (1) be- 

 friedigt, hat die Eigenschaft, dass irgend eine beliebige Potenz 

 derselben in ihren Endziffern mit p n (oder p' n ) ubereinstimmt. 

 Wåhrend aber filr Å = 2 die Zahlen p n und p' n die ein- 

 zigen sind, welche die Gleichung (1) befriedigen, so ist dies f tir 

 /. = 3 nicht mehr der Fall. Die Gleichung 



5) Pn = 10"a w -+- p n (hier hat a n natiirlich einen 



andern Werth als in (1)) 

 wird durch 2 4+1 Zahlen und die Einheit befriedigt. Man 

 kann (5) die Form geben: 



Pn {p n — 1) (p n + 1) = 10 n a n und hieraus erhålt man 

 die folgenden Auflosungssysteme : 



p nn = 5 w ftl p nn — 1 = 2*/?! p nn + 1 = 2»/*! + 2 



P' n , , = b»a' 1 p' n , t — 1 = fr§\ — 2 p' n , ! -f 1 = 2»/^ 



