Pm] I jP W) i == ■«-" == P ni\ ~\~ P n> \ • 



Uberhaupt gilt das Bestehen der Gleichung (6) ganz all- 

 gemein fur ein ungrades X. Hat man nåmlich fur die Gleichung 



9) pl = 10 W A W -\- p eine Losung, d. h. ein p gefunden, so 

 kann man stets daraus die Zahl p' = 10 w — p ableiten. Setzt 

 man nun in (9) den Werth p — 10 n — p' ein, so erhålt man 

 fur ein ungrades Å 



(10" — p')l= 10"/*(10",p') — p'1 = 10"A M -f 10" —p' woraus 



p<l = 10« \f{\0 n ,p') - A„ — "1| +p> folgt. 



Die Gleichung p 4 „ = 10 n a n -+- p n erledigt sich schnell; 

 schreiben wir sie in der Form 



10) p\ —p n =Pn (Pn — 1) {p\ + Pn + 1) =10"» 



so haben wir oben schon gezeigt, dass die beiden Losungen von 

 (1) auch Losungen dieser Gleichung sind, entsprechend den bei- 

 den Factoren p n und p„ — 1 ; dies sind aber auch die einzigen 

 Losungen der Gleichung (10), denn der Factor p 2 -\- p -f- 1 kann 

 nie =0 mod. 5 noch mod. 2 werden, da. p 2 -\- p -\- 1 stets ungrade 

 ist und nur = 1 oder = + 2 mod. 5 werden kann. 



Multiplicirt man die beiden Seiten der Gleichung (5) mit 

 p\, so wird 



p\ = 10 n p 2 n a n +p 3 „ = 10 n p 2 tl a n + 10 M a„ -\-p H = 



= W»a n {p' 2 n + l)+p n 



und wir erkennen also, dass alle Losungen von (5) auch zugleich 

 Losungen der Gleichung 



11) p\ = 10» A n +p n 



sein werden, jedoch nicht alle Losungen von (11) erschopfen. 

 Geben wir (11) wieder die Form 



