1902]. OM EN PSEUDOMEKANISK METHODE I GEOMETRIEN. 27 



eller 



Ifølge vor forudsætning skal altsaa R og B x ligge i samme 

 geodætiske kurve og være lige store men modsat rettede. 



Da imidlertid alle de ovenstaaende ligninger fremdeles gjælde, 

 om bogstaverne ikke betegne de før nævnte pile men disses 

 arbeider ved en hvilkensomhelst forskyvning, saa vil altsaa ogsaa 

 summen af arbeiderne for R og R x ved enhver saadan for- 

 skyvning bli lig nul. 



Men dette er jo kun mulig, naar den geodætiske afstand 

 mellem c og d ved en hvilkensomhelst forskyvning forblir kon- 

 stant. 



Flader med konstant krumning er altsaa .de eneste, som 

 har den i satsen omtalte egenskab. 



Theorem 14. Danner paa en flade af konstant krum- 

 ning tre pile en nulgruppe, saa maa pilenes tilhørende geo- 

 dætiske kurver enten alle gaa gjennem samme punkt eller 

 alle staa lodrette paa en og samme geodætiske kurve. 



I begrundelsen af dette theorem vil vi gaa ud fra som be- 

 vist, at to geodætiske kurver paa fladen enten vil skjære hin- 

 anden eller staa lodrette paa en og samme tredie geodætiske 

 linie. 



Efter dette maa altsaa enten to af de tre pile skjære hin- 

 anden eller staa lodret paa en geodætisk kurve. 



I første fald bevises satsen, idet man anvender theorem (10) 

 paa den forskyvning, som fremkommer, om nulgruppen svinges 

 rundt om de to geodætiske kurvers skjæringspunkt. 



I andet fald bevises theoremet ved at anvende sats (10) 

 paa den bevægelse af hele fladen henover sig selv ved hvilken 

 den nævnte geodætiske kurve forskyves langs sig selv. 



Lad os i det efterfølgende ved en geodætisk cirkel paa en 

 flade forståa det geometriske sted for alle de punkter paa fla- 

 den, som har den samme geodætiske afstand fra et givet punkt 

 paa fladen. 



