AXEL THUE. [No. 4. 



Hermed er satsen bevist. 



Efter at vi ad mekanisk vei har udviklet grundformlerne i 

 den absolute geometri, skal vi vise, hvorledes den her beviste 

 sats vil kunne udstrækkes til ogsaa at gjælde paa alle andre 

 flader af konstant krumning. 



5. Det er klart, at den før udviklede piltheori paa flader 

 af konstant krumning ogsaa vil kunne udvides til at gjælde i 

 rum med flere end to dimensioner. 



Forstaar vi saaledes ved en pil og en primitiv nulgruppe i 

 det sædvanlige tredimensjonale rum det samme, som vi efter vor 

 tidligere definition maa forståa ved en pil og en primitiv nul- 

 gruppe i planet, da gjælder de før beviste sætninger om ekvi- 

 valente pilgrupper og nulgrupper ogsaa „absolut" i det tredimen- 

 sionale rum. 



Ved|en pil vil vi altsaa her forståa et ret liniestykke, hvis 

 ene endepunkt er forsynet med pilespids. 



Videre forstaar vi her ved en primitiv nulgruppe af første 

 klasse den figur, som dannes af to i samme rette linie belig- 

 gende ligestore og modsat rettede pile. 



Er endelig i det euklidiske tredimensionale rum tre pile i 

 samme plan og med fælles begyndelsespunkt saaledes beskafne, 

 at hver pil blir Hg og modsat diagonalpilen i parallelogrammet 

 paa de to andre, saa kan vi sige, at de tre pile i det euklidiske 

 rum danner en primitiv nulgruppe af anden klasse. 



Vi faar her til ex. følgende absolutgeometriske satser: 



or) To pile i rummet er da og kun da ekvivalente, naar 

 de ligger i samme rette linie og er lige store men modsat 

 rettede. 



/?) Danner tre pile i rummet en nulgruppe, saa maa de 

 ligge i samme plan og enten alle tre gaa gjennem samme punkt 

 eller staa lodrette paa samme rette linie. 



Den sats, som svarer til principet om de virtuelle hastig- 

 heder, kan udtales saaledes: > 



y) Bevæger en række variable pile sig om hverandre paa 

 vilkaarlig vis, saaledes at de ved hver stilling danner en nul- 

 gruppe, da vil summen af pilenes arbeider med hensyn til et 



