AXEL THUE. [No. 4. 



Erstattede man nu som før samtlige pile i grupperne Si 

 med tilsvarende ligelange pile, idet pilenes begyndelsespunkter 

 og pilretninger herunder lodes uforandrede, saa gik systemet 

 Si over i et nyt system S af primitive symmetrigrupper og 

 systemet Z7i over i et nyt system U ogsaa sammensat af primi- 

 tive symmetrigrupper, medens grupperne P x Q x R v overførtes 

 i tre nye pilgrupper P Q R beliggende i de samme tre 

 linier. 



Vi vil saa for simpelhedsskyld tænke alle pilene i S parallel- 

 forflyttet saaledes sammen, at de faar fælles begyndelsespunkt. 



Systemerne S og U gaar herved over i de to nye syste- 

 mer S og TJ, som ogsaa udelukkende er sammensat af primi- 

 tive symmetrigrupper, og pilgrupperne P Q R over tre retliniede 

 pilgrupper PQR, hvis tilhørende rette linier danner de samme 

 indbyrdes vinkler som de til grupperne P x Q x ^1 hørende rette 

 linier. 



Idet vi vil indskrænke os til at bevise satsen kun under 

 den forudsætning, at systemet P x Q x R x kan overføres i en 

 symmetrigruppe ved at tilføie og borttage symmetrigrupper i 

 samme plan som P t Q x R 1} saa kan vi forudsætte, at alle 

 pilene i systemerne S og altsaa ogsaa alle pilene i systemerne 

 U og PQR ligger i samme plan. 



Er a, b og c henholdsvis summen af de i P, Q og R inde- 

 holdte ligestore pile, efterat alle i de nævnte grupper optrædende 

 symmetrigrupper paa to og to ligestore og modsat rettede pile 

 er fjernede, og er a vinkelen mellem Q og R, saa faar man, 

 da PQR er en nulgruppe: 



a 2 = b 2 -\- c 2 -j- 2 be cos a 

 eller 



a 2 — b 2 — c 2 h 



cos a = 



26c k' 



hvor li og k er hele indbyrdes primtal. 



Er s t et system, som dannes af en vilkaarlig række af de 

 primitive symmetrigrupper, hvoraf S er sammensat, og s 2 det 



