102 AXEL THUE. [No. 4. 



kan man ved fra dette punktsystem at borttage en række lig- 

 nende grupper ikke bare faa igjen punkter, som ligger paa en 

 storcirkel. 



Hver af de nævnte punktgruppers centralellipsoide er jo 

 en kugleflade. 



6. Sats 44. Kan en plan gruppe paa tre pile overføres 

 i en symmetrigruppe eller i et system af saadanne ved i 

 planet at iilføie og borttage primitive symmetrigrupper eller 

 retliniede grupper, hvori summen af de pile, som peger til 

 den ene kant, er lig summen af de, som peger til den anden, 

 da maa de tre pile være lige lange og danne vinkler paa 

 120° med hverandre. 



De under overføringen indførte pile vil i lighed med, hvad 

 vi tidligere har seet, saavel indbyrdes som med de givne pile 

 danne vinkler, som er rationale dele af it. 



Endvidere vil der mellem længderne af de forskjellige grup- 

 pers pile beståa ligninger af første grad. 



Ændrer vi nu pilenes længder med bibehold af deres 

 begyndelsespunkter og tilhørende rette linier, saaledes at de 

 nævnte ligninger fremdeles bestaar, saa vil hver symmetri- 

 gruppe ved denne transformation gaa over i en ny symmetri- 

 gruppe, og hver retliniet gruppe af den ovenfor nævnte art over 

 i en lignende gruppe. 



Da imidlertid ligningerne er af første grad, maa de ogsaa 

 kunne tilfredsstilles ved rationale værdier af pilene. 



Vi fik paa denne maade i samme plan en nulgruppe paa 

 tre pile, som stod i rationalt forhold til hverandre og som dan- 

 net vinkler med hinanden paa rationale dele af u. 



Tre saadanne pile maa imidlertid, som vi før har seet, 

 være lige lange og danne vinkler paa 120° med hinanden. 



Medens parallelogramloven saaledes ikke vil kunne bevises 

 ved plane symmetribetragtninger, er dette dog tilfælde med 

 loven for parallele kræfters sammensætning. 



7. Theorem 45. Har man i tre parallele rette linier A, B 

 og C, af hvilke C er den mellemste, henholdsvis tre pilgrupper 



