110 AXEL THUE. [No. 4. 



Ved at lade forholdene mellem til ex. a lt a 2 og a 3 faa bestemte vær- 

 dier, kan man faa S til at falde hvorsomhelst i planet PQR. Lægges de 

 fire resultanter om i sine tilhørende rette linier, saa faaes: 



Theorem. Har man i rummet to planer og i hvert af disse fire 

 vilkaarlige punkter, saa kan man i hver af de sexten rette forbindelses- 

 linier mellem de fire punkter i det ene plan og de fire punkter i det 

 andet indlægge en saadan kraft, at de fire kræfter, som paa denne vis 

 modsvarer hvert af de nævnte 8 punkter, vil holde hverandre i 



Theorem. Har man fra hvert af fem vilkaarlig givne punkter a, b, 

 c, d og e paa en flade af anden grad trukket rette linier til fem andre 

 vilkaarlige punkter A, B, C, D og E paa fiaden, saa kan man i hver 

 af disse fem og tyve forbindelseslinier indlægge en saadan kraft, at 

 de fem kræfter, som saaledes modsvarer hvert af de nævnte ti punkter, 

 vil holde hverandre i ligevægt. 



Foråt bevise denne for de nævnte flader karakteristiske sats indlægger 

 vi til ex. i linierne aA, aB, bA og bB henboldsvis de fire vilkaarlige 

 kræfter p, q, r og s. 



Vi kan da, som man strax ser, i de øvrige linier indlægge kræfter 

 saaledes, at de til hver af punkterne a, A, b, B, c, d og e hørende kræfter 

 vil holde hverandre i ligevægt. 



De til D hørende kræfter vil da faa en resultant H og de til E 

 hørende en resultant U. 



Lader man efterhaanden kræfterne p, q, r og s faa en fra nul for- 

 skjellig værdi, medens man sætter de øvrige tre af disse samme kræfter 

 hg nul, saa vil de til G svarende kræfter lade sig reducere til henholdsvis 

 resultanten P, Q, R eller S. 



Da virkningslinierne for kræfterne P, Q, R og S ikke varierer med 

 valget af kræfterne p, q, r og s, medens hver af de førstnævnte kræfter 

 voxer proportionalt med den tilsvarende blandt de sidste, saa maa for- 

 holdene mellem disse kunne gives saadanne værdier, at kræfterne P, Q, 

 R og S vil holde hverandre i ligevægt. 



De til D og E hørende resultanter H og U vil da ogsaa holde hver- 

 andre i ligevægt. De fem ligevægtsgrupper, som svarer til punkterne a, 

 b, c, d og e vil jo isaafald kunne reduceres til en gruppe, som er sam- 

 mensat af H og U og af de tre ligevægtsgrupper, der svarer til punkterne 

 A, B og G. 



Ligger imidlertid de givne ti punkter paa en kugleflade, saa indser 

 man gjennem samme raisonnement som det, der blev anvendt ved beviset 

 for theorem (21), at baade H og U maa være lig nul. 



At satsen, der følgelig gjælder absolutgeometrisk for kuglens ved- 

 kommende, ogsaa har gyldighed for ellipsoiden og alle andengradsflader, 

 kan bevises euklidisk ved paa kuglen og de pile, som afbilder de nævnte 

 25 kræfter, at anvende den liniære punkttransformation 



x' = ax, y' = /% , s' = ys, 



