8 AXEL THUE. [N(>. 7. 



Der maa følgelig under p findes mindst et tal q , for hvilket 

 resttallet r i ingen af ligningerne (9) kan tilfredsstille (10). 



Theorem 1. 



Er a og b to vilkaarlig opgivne hele tal, som begge er 

 indbyrdes primtal med et vilkaarlig opgivet helt tal p >- 1, da 

 kan ligningerne: 



aq = a p -f- h 



bq=fip + k W 



tilfredsstilles i saadanne positive eller negative hele tal a , /? , 

 li, k og q , at: 



0</* 2 O 



I beviset herfor vil vi først behandle det specielle tilfælde, 

 da p falder mellem to paa hinanden følgende kvadrattal, eller da : 



^ O < ( W -f- 1 )2 , 



hvor n er et helt positivt tal. 



Da p og a er indbyrdes primtal, kan man altid, som før 

 sagt, bestemme saadanne hele tal q og a , at: 



aq t — p a x -\-l 

 aq 2 =pa 2 -f- 2 



aq n =p a n -f- n 



Da p ogsaa er indbyrdes primtal med b , kan man videre 

 bestemme slige hele tal (i og r, at: 



