1902]. ET PAR ANTYDNINGER TIL EN TALTHEORETISK METHODE. 11 



Man kan derfor her gaa ud fra, at alle resterne r ligger 

 mellem n og n 2 — n. 



Var nu differentsen mellem hvilkensomhelst to rester r, 

 som i størrelse fulgte efter hinanden, mindst lig n, saa blev 

 differentsen mellem den største og mindste af resterne r mindst 

 lig: 



n(n — 2)=n 2 — 2>/ 

 Da imidlertid 



( n 2 — n — 1 ) — ( n + i ) = n 2 — 2n — 2 , 



saa er dette umuligt. 



Der maa altsaa findes mindst to rester r x og r^, hvis 

 differents ikke overstiger n — 1. 



Vi faar saaledes de to ligninger: 



ct{Qx — q y )=p{a x —a y )-\-{x~y) 

 & ( Q* — Qy ) = P ( ^ — ^y ) + ( ^ — r y ) , 



i hvilke resterne ( x — y ) og ( r x — r y ) i talværdi ikke over- 

 stiger n — 1. 



Herved er satsen bevist. 



Vi skal saa ved hjælp af det her beviste theorem udlede 

 et par berømte satser fra theorien om de kvadratiske rester. 



Lad i udtrykket: 



Ax*+Bxy + Cy* =-- U (13) 



koefficienterne A, B og C være hele tal og x og y indbyrdes 

 primtal. 



Er da p et primtal, som gaar op i TJ, men ikke op i x y, 

 saa kan vi efter ovenstaaende bestemme saadanne hele tal 

 cc, /?, h, k og q , at : 



