8 V. M. GOLDSCHMIDT [No. 3 



die Symmetrieeigenschaften der zweiunddreissig Krystallklassen 

 besassen, ohne dass spezielleVoraussetzungen uber die Beschaffen- 

 heit der einzelnen Punkte benotigt wurden. 



Die Raumgitter von Frankenheim und Bravais sind geo- 

 metrisch durch folgende gemeinsame Eigenschaft gekennzeichnet, 

 dass nåmlich die Punktabstånde langs einer beliebigen geraden 

 Linie durch das System konstant sind. Legen wir eine geråde 

 Linie durcb zwei beliebige Systempunkte, so muss die Fortsetzung 

 der Linie mit gleichmåssigen Zwischenråumen durch andere 

 Systempunkte belegt sein. 



Aus dieser Eigenschaft folgt die Homogenitåt des Punkt- 

 systems, welche sich physikalisch darin aussert, dass alle Teile 

 ein und desselben Krystalls in allen ihren Eigenschaften gleich- 

 wertig sind. 



Nehmen wir indessen Riicksicht auf die geringen Dimen- 

 sionen molekulårer Abstande, so ist auch eine andere Art von 

 Homogenitåt denkbar, dass nåmlich die Punktabstånde langs 

 einer geraden Linie nicht konstant seien, sondern periodisch 

 wechselnd. Sobald Punktsysteme dieser Art in Betracht kommen 

 konnen, gelangen wir zu einer weit grosseren Mannigfaltigheit 

 als zu den vierzehn Raumgittern. 



Als plausible Grundannahme kann man vorlåufig davon 

 ausgehn, dass die kleinsten Teile eines Krystalls untereinander 

 identisch und åquivalent sind, dann erhalten wir als einzige 

 Einschrånkung fur die Beschaffenheit des Punktsystems die 

 folgende Bedingung: Alle Punkte des Systems sind auch geo- 

 metrisch åquivalent; dass heisst, die Anordnung der Nachbar- 

 punkte um einen beliebigen Punkt ist dieselbe fur alle Punkte 

 des Systems. 



Punktsysteme dieser Art wurden zuerst von Chr. Wiener 

 beschrieben, die vollståndige mathematische Behandlung des Pro- 

 blems verdanken wir L. Sohncke. Wir gelangen hierbei zu 65 

 Arten von Punktsystemen, wenn ein Massenpunkt als kleinster 

 Teil des Systems gevvåhlt wird. Jedes einzelne dieser, zum Teil 

 sehr komplizierten Punktsysteme kann aufgefasst werden, als 

 bestehend aus einer endlichen Anzahl kongruenter Raumgitter, 



