720 MÉMOIRE SUR LE SYSTEME METRIQUE 



\.° Le passage de Plutarque nous apprend que le nombre 4 du triangle étoit 

 formé du premier nombre pair, ou 2, multiplié par lui-même ; en le joignant, ainsi 

 que l'unité, aux trois autres, nous aurons la série des cinq premiers nombres. Main- 

 tenant, si on les multiplie 2 à 2, 3 à 3 et 4 à 4, les produits expriment un grand 

 nombre de rapports compris dans le tableau des mesures Egyptiennes (1). 



Ainsi la progression des mesures et leurs rapports paroissent dériver , du moins 

 en partie, de la considération de trois figures de géométrie : les polygones étoiles 

 à 5 et à 1 5 côtés, et le triangle rectangle Egyptien. En second lieu, toutes les me- 

 sures de stades se trouvent dans ce triangle et ses dérivés. En troisième lieu, lès 

 élémens de la grande pyramide sont tous renfermés dans ce même triangle ; ce qui 

 contribue à expliquer le choix que l'on a fait de cette espèce de pyramide, plutôt 

 que d'aucune autre. 



Je rappellerai ici un passage de Plutarque dont je n'ai encore cité que le com- 

 mencement. Il est question des Pythagoriciens. « Le nombre de 36, dit-il, appelé 

 » tetractys , étoit sacré: le serment que l'on faisoit par ce nombre, étoit des plus 

 35 révérés ; ce qui est, dit Plutarque, une chose rebattue. Le même se forme aussi par 

 » l'addition des quatre premiers nombres pairs et des quatre premiers impairs. » 

 C'est là le fameux quaternaire si connu par les rêveries anciennes et modernes dont 

 il a été l'objet, et qui n'est, au fond, qu'une figure très-simple de géométrie ou 

 d'arithmétique. Le mot de tetractys annonce que la figure étoit un carré ; ce carré 

 avoit 6 unités de chaque côté. Or le nombre 6 est un diviseur commun des 

 rapports du système Egyptien. Les nombres, dans ce système, sont divisibles par 6 

 ou 10 (dont le produit est 60), ou bien ils en sont des puissances. 



Cette remarque me conduit à une autre propriété du triangle Egyptien. Si, 

 après avoir mené une perpendiculaire sur l'hypoténuse, on en mène une autre 

 du pied de celle-ci sur le moyen côté, puis une autre sur l'hypoténuse, et ainsi 

 de suite indéfiniment , on a une série de lignes en zigzag et décroissantes, parallèles 

 ou à la hauteur ou au moyen côté , et qui ne ressemblent pas mal à ces figures de 

 serpens dessinées dans les tombeaux des rois de Thèbes, sur les faces des rampes 

 ou plans inclinés, avec un nombre considérable de circonvolutions. Or, si l'on 

 calcule les valeurs de ces lignes, on trouve qu'elles forment une série infinie, dont 

 les termes sont égaux, suivant une certaine loi, aux puissances de 4 divisées par 

 les puissances de 10 et multipliées par 6 (2). 



Si l'on fait la même chose du côté opposé, c'est-à-dire, en abaissant des perpen- 

 diculaires successivement sur l'hypoténuse et le petit côté, on a une série analogue, 

 dont chaque terme est égal au quadruple de la fraction -£-, élevée à ses différentes 

 puissances (3). Calculant aussi les longueurs du moyen côté et du grand segment 

 de l'hypoténuse , réduites par les perpendiculaires successives , on a une série 



(1) Voyei le tableau général et comparé des mesures. 



6 • / - ^ " ' ' • A . -> 3 n ~* z 



(2) Chaque terme est éeal à ou . , n étant le rang de la perpendiculaire, et les côtés du 



10 n 10 n 7 



triangle étant toujours représentés par 3,4; ?• 



(3) La valeur du terme est 4( — J 



