40 Albert Waugerin, 



Bruns 1 ) gefundenen Reduktion, Bruns behandelt die allgemeine Ringfläche, 

 die durch Rotation eines Kreises um eine beliebige in seiner Ebene liegende 

 Achse entsteht. Setzt man in der Formel von Bruns a = b = ß und 

 macht zugleich in 20') 9- = 0, also cos 7' = (d. h. nimmt man an, dafs 

 der angezogene Punkt auf der Rotationsachse liegt), so wird 20') mit der 

 Formel von Bruns identisch. Aber diese Reduktion erregt, wie schon oben 

 bemerkt ist, das Bedenken, dafs man mit unendlichen Massen operieren 

 mufs, ein Bedenken, das auch die allgemeinere Formel von Bruns trifft. 

 Wendet man statt der zweiten Deutung, zu der Gl. 20) gehört, auf die 

 Ringfläche 1') die erste oder dritte Deutung an, so fällt dies Bedenken fort. 

 Es sind damit für den speziellen Fall der Ringfläche 1') der Brunsschen 

 Reduktion zwei andere an die Seite gestellt. 



Zusatz 2. Man kann den in diesem Abschnitt abgeleiteten Resultaten 

 noch eine etwas andere Forrn geben. Setzt man 



\/l-\-COSU \/l — COSW 



-= fi (?). -7== = = fi (£>)> 9 = ß sm «. 



]/a? + ß*cosu. l/« 2 — ja 2 cos et 



so kann man die Funktion /"(cos«) [Gl. 8) S. 31] so zerlegen 



f (cos u) = «4 {fl + fl) + 2a 2 ß (f, — f,) ]/ß 2 —9 2 + ß 2 (fi + fi) (ß- — 9 2 )- 

 Dadurch geht Gleichung 19) in folgende über: 



2ti ß d 9_ 27t ß g _p 



1 9 a) V= l a*fd y7 j^*_ -^dQ+^J ä<p y f[2a*ß (f\ -fd + ß> (fi + fi) \ff^] ^*9- 



o 



Im zweiten Summanden rechts kann man teilweise integrieren, so ergibt 

 dieser zweite Summand, da der in Klammem stehende Ausdruck für q = ß 

 verschwindet, das Potential einer gewissen einfachen Belegung unserer 

 Kreisfläche. Auf den ersten Summanden von 19 a), in dem man auch 



4 4 



dQ ' ' 8ß 



setzen kann, kann man die obigen drei Deutungen anwenden. Das hat 

 den Vorteil, dafs man statt der Funktion f {cos 11) mit den einfacheren 

 Funktionen fi und fi zu operieren hat. 



i) Vgl. die S. 4 zitierte Dissertation. 



