Über das Potential gewisser Ovaloide. 43 



Das Potential der von der Kugel 2 c) begrenzten homogenen Masse 

 (Dichtigkeit 1) ist aber 



so v = ^ o» (/ITT 2 ) 3 • ^ , 



wo E den Abstand des Aufpunktes (r, &, <p) von dem Mittelpunkte der Kugel 

 bezeichnet. E ist also durch die Gleichung bestimmt 



E°- = r2 + £2 02 — 2r Cß cos#. 



Entwickelt man 11 E unter der Voraussetzung r > Cß, so wird das Potential 

 der Kugel 



5") ^ = f * * (l/ 1 ^) 3 S ^#^> • 



n = 



Andererseits ist F auch durch die Gleichung 5) dargestellt, falls man darin 

 für J n den Ausdruck 5 b) setzt. In beiden Ausdrücken müssen die Koeffi- 

 zienten der einzelnen Potenzen von ljr übereinstimmen, d. h. es mufs sein: 



+ i 



6) ^3 j[ß fi + 1/I+T7 2 ] " + 3 Pn (,«) dft = | 0" (1 + ßrf ; 



— 1 



und diese Gleichung ist für beliebige reelle Werte von ß gültig. Setzt 

 man in 6) 



7) —L= = a, 

 so nimmt 6) die Form an 



8) 



+ i 

 ^3 / [a (i + \fl — a 1 (1 - p*)\ " + 3 P n (ft) dft =-\a n («2 ^ 1). 



Somit hat das Verfahren, das ich zur Ableitung des Potentials von 

 Massen benutzt habe, die von gewissen Ovalfiächen begrenzt werden, in 

 seiner Anwendung auf die Kugel auf die bemerkenswerten Relationen 6), 

 resp. 8) geführt. Dafs man die Gleichung 6) auch direkt herleiten kann, 

 habe ich kürzlich im Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 

 Bd. 23, S. 386 ff. gezeigt, und zwar habe ich dort zwei verschiedene Beweise 



für 6) mitgeteilt. 



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