24 Albert Wangerin, 



d. h. nach Wiedereinführung von x. y, a an Stelle von ar„ y u «i 



,££, (_l)»a*» c J"-l [a;2»-l(l_a^)n] 



Va) y = * + 2, a.«s d ( *2)-i ' 



i ' 



mithin 



^ 2-ra! -/(--) 



i v 



Die Vergleichung der beide'n Reihen II) und VI) ergibt die Formel a). 



Eine analoge Formel gilt auch für Kugelfunktionen mit ungeradem 

 Index. Sie ergibt sich so: 



Aus a) folgt 



i — iv' d" r 



(2m + l)x* n - x (l—aß)« 



VII) (2« + 1) P,„ (x) + (2« + 2) P 2B + 2 (x) = L-^l x 



d {&) 



Andererseits ist 



n\ d(x 2 )" 

 { ~ 1)n xUn I 3 /"[^" + 1 (l-^)"] 



VUI) (2«+l)P. iB ( a ;) + (2w+2)P 2B + 2 ( a; ) = (4n+3)iP,. + 1 ( 1 iB) I 



mithin ist 



b) -" +l(/) -ir *(**)» -- 1 ) 



») Lösung des Problems. 



Aus dem abgeplatteten Rotationsellipsoid 



entsteht durch Inversion vom Mittelpunkte aus die Ovalfläche 



1) (V- + Vr + zr) 2 = «i- V + W- (Vi 2 + h\ 



worin, wenn R der Radius der Transformationskugel, 



1 a) «! = — - , b l = — , mithin a : > 6j 



ist. Der Anfangspunkt der Systeme X, T, Z und x 1} y u z x ist derselbe. 

 Drückt man x u y u z L durch räumliche Polarkoordinaten T 1} & u <p x aus, so 

 geht 1) über in 

 l-b) FJ = b^+iaf—tfl cos2^. 



') Eine andere Ableitung der Formeln a) und b) habe ich im vorigen Jahre im 

 Jahresberichte der Deutschen Mathematiker -Vereinigung Bd. 23, S. 385 mitgeteilt. 



