Über das Potential gewisser Ovaloide. 23 



ZU. Das Potential des Ovaloids, dessen Oberfläche aus einem ab- 

 geplatteten Rotationsellipsoid durch Transformation mittels reziproker 

 Radien vom Mittelpunkte aus entsteht. 



a) Ableitung zweier Hilfsformeln. 



Zur Behandlung- des in der Überschrift genannten wie mehrerer weiter- 

 hin folgender Probleme ist folgende Darstellung der Kugelfunktionen nötig. 



Hilfssatz. Für gerade Indizes 2n kann man die Kugelfunktion 

 durch folgende Gleichung darstellen: 



(-1)« ^[a'-Ml-ag)"] 

 a) ^i.W — —^ *- d(aß)n -, 



wo rechts «-mal nach x 2 zu differenzieren ist. 

 Beweis. Ist 



I) l/l + 2 a x + «2 _ |/i_2aa; + «2 = 2 «y, 



so ist 



diu 2 1 1/ 1 + 2 a £ -f a 2 1/1 — 2«a; + a 2 | -^ 



71 = 



und bei zweckmäfsiger Wahl von a konvergiert die Reihe stets. Anderer- 

 seits folgt aus I) 



III) iß = x 2 + a"-f-{iß — 1) 



oder, wenn man 



III a) y" 1 = y u x* = x u a 1 = a x 



setzt, 



IV) Vi = «i + «i 2/i fai — i). 



Wendet man auf IV) die Lag ränge sehe Umkehrungsformel an, so wird 



-^^^ fit . ii> iL 1 



1 ' 



speziell 



v) tfi = l/* + X2ri 



y=(M^-l))" 



«! 2 dx l "- 1 



