20 



Albert Wangerin, 



20) 



cos 



J-lS«-»-fc=TS-H^l)*-^'* 



COS 



M = 



2 " 16 — 



(-D' 



2 1 



+ 



2«j + 3 2w — 1 2m— 3 2 m + 5 



P m (COS Hj). 



Wendet man auf diese Gleichungen die Integralsätze der Kugelfunktionen 

 an. so wird 



J„.(2«+ !)=-(— l)»(2«+5) 



2 + ' 



2« + 3 2w— 1 ' 2m — 3 2m +5 

 - 3 (- 1) 



oder 



21) 



1 



2w + 3 2m— 1 



_ 3 (-1)« 



2 2m +1 



1 



2m — 3 2m— 1 2m + 3 



Andererseits werde unsere Kugelfläche vom Radius ^B mit blasse 

 von der Dichtigkeit Je' belegt, so erhält man, falls Je', nach Kugelfunktionen 

 der zwei Veränderlichen u u rp x entwickelt, die Reihe 



22) Je' = "V Km ( Ml , (pj 



gibt, für das Potential V dieser Belegung in bezug auf den äufseren Punkt 



g, u, <p die Formel 1 ) 

 23) 



4*y 



J3V+- 



_ K n (u, g>) 



Q n + 1 2»+l 



Soll V mit V-2 identisch werden, so mufs 



K n (m, ?>) = 3 ^ P» (cos m) (2m + 1) J n = — (— 1)" P„ (cos w) 



1 



2m — 3 2m— 1 2w + 3 



sein. Die Dichtigkeit Je' der Masse, mit der man die Kugelfläche belegen mufs, 

 um das Potential V. 2 zu erhalten, hat somit den von ?, unabhängigen Wert: 



A* °° 



24) 



V = — VJ (_l)»P„(cos Ml ) 



2m — 3 2m — 1 2m + 3 



Die Summation in 24) läfst sich ausführen. Aus den beiden Gleichungen 

 20) folgt nämlich 



!) Vgl. z. B. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, 2. Auflage. Bd. II, S. 63. 



