Über das Potential gewisser Ovaloide. 



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cos m & l P„ (cos #,) sin # t d& { = 



ist für m<n, ebenso für m > n, falls m — n ungerade ist. Dadurch er- 

 gibt sich: 



6) j„ = AB 





(cos #,) 



"■B2co»'^fr 1 + (n+ ; )C ; +1) ^coB-fr," 



j2 • o 



sin 9-, dö-j. 



Von den beiden Integralen, die auf der rechten Seite von 6) auftreten, läfst 

 pich das zweite auf das erste zurückführen. Denn wegen der Differential- 

 gleichung, der P„(cos*j,) genügt, ist 



n {n— 1) / cos" + 



3 



(w + 2) / cos" + 



#i P„ (cos -fl-j) sin ,9-, (7^ 



7t 



= — / cos" + 2 



*I 



<Jsin * 1 d* 



dP„ (cos#,) 



1 dd-i 



d&, 



i- 2 ^ 1 P„(cosö- 1 )sin5- 1 rfö- 1 -(«+l)(w+2) / cos"& l P n 

 (wie durch zweimalige teilweise Integration folgt) oder 



(Gos0- i )siad- 1 d&- l 



7) (w + l)(w+2) / cos ,1 # l P, 1 (cos#,)sin# 1 cZfl- 1 = 2(2M- r -3) / cos. n+J! * 1 P„(cos.# 1 )8iiiö- li d* 1 . 



Mithin wird 



6 a) -J„ = AB" 



Tt 



#H ^LL?^ / Gos" + 2 ^ 1 P B (cos^ 1 )sin^ 1 dö- 1 , 



und darin kann man das von bis n erstreckte Integral durch das 

 Doppelte des von bis -jt genommenen ersetzen. Setzt man den Ausdruck 

 6 a) in 5) ein und ersetzt nach 4) das Produkt 2 jt P„ (cos &■) P n (cos #i) durch 

 die linke Seite von 4), so wird 



8) 7=2 yi », *>, fd< Pl g P " (C0Sy) f n T/° 3 " + -^ (* + ^f 3 ^-) • 



u 



Die Summation in 8) kann man ausführen. Denn da 



o < B cos #, < r, 



