Über das Potential gewisser Ovaloide. 71 



Mit 15 a) ist eine neue Reihe für das Potential des in Abschnitt IV 

 behandelten Ovaloids gefunden. Doch ist diese Reihe viel zu kompliziert, 

 als dafs sie eine einfache Deutung zuliefse, insbesondere als dafs man die 

 in IV entwickelten Resultate daraus ableiten könnte. 



Dagegen ergibt sich durch Vergleichung der Reihe 15 a) mit dem 

 in IV abgeleiteten Resultate eine neue Formel für Kugelfunktionen. In IV 

 war für V der folgende Wert abgeleitet [vgl. Gl. \9) S. 35, in der hier die 

 Integrationsvariable mit t statt mit q bezeichnet werden möge]: 



•in ß „_t_ 



E dt 



16) V = | fän ff g )/p=P 



Vt 1/02 — p' 



in der E den Abstand der Punkte bezeichnet, deren Polarkoordinaten resp. 

 r, #, tp und t, -ji, <pl sind. Um 15 a) und 16) vergleichen zu können, 

 müssen wir die genannten Polarkoordinaten durch die elliptischen Koordinaten 

 ö, ;., (f und a 1} li, cpi ausdrücken. Da x = y = z = ist, folgt aus 2) 

 und 8) (S. 66, 68) 



mocosl . n Ri l/ö 2 — e 2 sin 1 



17) r cos & = — z—r-z-z , r sin ,9- = — L , 



O- — e 2 sin 2 A o- — e 2 sin 2 2 



während <p bleibt. Entsprechende Beziehungen finden zwischen r l9 & t und 

 a u /j statt. Da aber in 16) ^ = - n, r x = t war, so ist 



1 JR 2 



17 a) Xi = - Jt, t = 



e i + ^ = öl. Ferner folgt aus 2 a) (S. 67): 



2 ]/a^ — e 2 



und den Grenzen £ = und t = ß entsprechen die Grenzen o i = oo und 



01 = 



17b) V E=^, 



worin 



17 c) q = l/ö 2 — e 2 sin 2 .2., Pl = [/öi 2 — e' i 



ist, während für lZ-E^ die Reihe 11) gilt, wenn man darin cos X x = und 

 ö! an Stelle von a setzt. Die Konstante ß hat den Wert [Gl. 7), S. 31] : 



17 d) 



P X i/ o x,, -K 2 l/« 2 — & 2 ^ 2 



2 V 2 ab 2 ßl / a2 _ e 2' 



