Abschnitt J. 

 Ableitung von Hilfsformeln. 



1. Darstellung- von x^-^p JPn{x) als Differentialquotient. 



In Abb. I S. 23 — 24 habe ich zwei neue Formeln angegeben, durch 

 die die Kugelfunktionen Po„{x) und P2« + i(^) mittels v^-facher Differential- 

 quotienten nach j" dargestellt werden/) Diese Formeln lassen sich dahin 

 erweitern, dafs man x"~^^' P„{x), falls j; irgend eine ganze Zahl <^in ist, 

 mittels ^j- maliger Differentiation nach x- ausdrücken kann. Eis ist nämlich 



k = p 



1) x"-^-'^ P„ix) = ^—' X ". , 



worin 



, a^ „ _ ^0 ^(rt _ in -2p){n-^ p-l) ...(«-afc + l) (,) _ 



ist. Die Summe in 1) bricht von selbst ab, und zwar geht sie bis k = ^n, 

 resp. /i=^(n — 1), je nachdem n gerade oder ungerade ist. 



Die Gleichung 1) enthält die erwähnten Formeln aus Abb. I als 

 spezielle Fälle. Setzt man nämlich, falls n gerade ist, p = iri, so ver- 

 schwinden alle Koeffizienten C^'"' für li>p, und 1) geht über in 



2 a) P„ {X) = ^ -±^ X ~~— [,f-Än-X) (i _„) 1 «] , . 



und das ist in anderer Bezeichnung die Formel a) in Abb. I, S. 23. Für 

 ungerade n aber und p = -.((u — 1) geht 1) über in 



1) Einen anderen Beweis dieser Formeln habe icL im Jahresberjcht der Deutschen 

 Mathematiker -Vereinigung Bd. 23, S. 385, mitgeteilt. 



