368 Albert Wangerin, [6] 



diese Formel ist aber, Avenn man beiderseits durch .c dividiert und // durch 

 2 Ji + 1 ersetzt , mit der Formel b) aus Abh. I, S. 24, identisch. Für den 

 Fall 2p = 11, resp. 2jj = // — 1 ist damit die Richtigkeit der Gleichung 1) 

 erwiesen. 



Setzt man ferner in 1) /^ = 0, wobei, wie üblich, unter Ol der Wert 1 

 zu verstehen ist, ersetzt zugleich y durch .x' und dividiert beiderseits durch 

 x", so folgt aus 1) 



3) - P„ (x) =y^{—\y Cf x"-'-'(l— .r2) i- 



i- = 



— ■'' ' ^id^ ^' 2.4...2fc.2.4...2ifc * (^ '■)' 



i = 1 



und das ist eine bekannte Formel, die sich aus dem Laplaceschen Integral 

 für P„ (.r) ergibt.') 



Allgemein läist sich die Richtigkeit der Gleichung 1) durch den 

 Schlufs von j} auf jj ^ 1 erweisen. Multipliziert man 1) mit .r = y und 

 beachtet, dafs 



cU'fiu) _ dP-^ \ ä\yny) ] X 



ist, so folgt aus 1): 

 worin zur Abkürzung 



4a) y(,/) = _V(_i)t-y. fcq!'^)^«-*+i(l_^)*-i • 



k = ;. 



k = p 



—^{-'^)'-"pc!'^>/''~'-'Hi—i/)' 



- 1' 



gesetzt ist. Der erste Summand der rechten Seite von 4 a) läfst sich nun 

 so schreiben: 



k=p 



k = p + l 



k=p 



') Vgl. meinen Artikel über Kugel- und verwandte Funktionen in der Enzyklopädie 

 der Mathematischen Wissenschaften, Bd. II, S. 702, Formel 4 a). 



