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220 Carl Kostka, |(i] 



Der Typus einer symmetrischen Funktion, auch ein typige Funktion 

 genannt, ist: 



T,ö, = y^ /,«»f,«.... <„««-!. (5) 



Hier ist in <, n. In der Summe stehen alle Glieder, die bei fester Reihen- 

 folge von ti, t.2, . . ■ tn die verschiedenen Permutationen der Exponenten, 

 unter denen n — in Nullen sind, jede einmal, enthalten. Die Anzahl der 

 Summenfflieder ist also: 



■»' 



m, ! jKi! . . . >H/! (« — »»)! 



(ö) 



Die Grröfsen ^i, t,, ... t„ mögen alle gleiches Gewicht (Dimension) haben. 

 Setzt man t • t,, statt t,, für alle Werte des h von 1 bis n, so verwandeln 

 sich c„ iL,,,,, T,„) in t'-c,.; t^' • K^a^ und ti^'-T, ^\ also hat c,. das Gewicht r 



und bei K{a) und T{u) ist das Gewicht gleich ,«, d. h. gleich dem Gewicht 

 der Zeigerreihe. Das Produkt zweier Typen, deren Gewichte ,w, und n^ und 

 die Gliederzahlen i\ und ro sind, hat das Gewicht i^i + fj-i und liefert an 

 sich i'i • fo Glieder, die sich in Typen müssen zusammenfassen lassen, weil 

 auch das Produkt eine symmetrische Funktion sein mufs. Z. B. hat T3, 2 • T^, 2^ 

 das Gewicht 14 und nach (6) die Gliederzahl .7 »'^ (« — 1)''' • (;? — 2). Um die 

 Typensurame allgemein zu erhalten, wird man n mindestens = 5 nehmen, 

 weil fünf verschiedene t nebeneinander im Produkt vorkommen können. Als 

 Exponenten können im Ergebnis nur die Zahlen 8, 7. 5. 4, 3, 2 stehen, doch 

 8 und 7 oder 8 und 5 oder 8 und B oder 7 und 4 nicht gleichzeitig in 

 einer Zusammenstellung. Die Summe 14 der Exponenten kann erreicht 

 werden bei den Zusammenstellungen: 8, 4, 2; 8, 2, 2, 2; 7, 5, 2; 7, 3, 2, 2; 

 5, 5, 4: 5, 5. 2. 2; 5, 4, 3, 2; 5, 3, 2, 2, 2. Diese bestimmten Zahlfolgen 

 können aus den beliebig umzustellenden Folgen 3, 2, 0, 0, und 5, 2, 2, 0, 

 auf 1, 3, 1, 1, 2, 4, 1, 3 Arten gebildet werden. Daher: T-i^-i'T-^,i- = 2^s, 4, 2 



-r 3 • Ts, 2^ -r ^7, 5, 2 "r Tt, :5, 2- "r 2 Tö-2^ 4 — 4 Tö% 2- -f T^^ 4, 3, 2 -r 3 Tö^ 3, 2». . Zur 



Probe: Für }i ^= b ist nach (6) links und rechts die volle Gliederzahl = 600. 

 Die gefundene Gleichung ist für n ^ 5 richtig. Um sie für n = 4 zu er- 

 halten, setze man t, = (neben t^ = It = . . . =^ 0), so fällt rechts das 

 letzte Glied fort und die volle Gliederzahl ist 144. Bei n = 3 fallen 

 auch das 2., 4., 6., 7. Glied fort und die Gliederzahl ist 18. 



Die Art, wie das Ergebnis im Beispiel erhalten wurde, zeigt zugleich, 

 dafs das Produkt zweier bestimmten Typen nur eine bestimmte Summe 

 von Typen liefern kann. — Jede ganze symmetrische Funktion setzt sich, 

 wie wir sehen, aus Typen additiv zusammen. Ist die Funktion gebrochen. 



