[7] Symmetrische Funkttoncn. 221 



SO kaun sie in die Form eines Bruches gebracht werden, dessen Zähler 

 und Nenner ganze Funktionen sind, die keinen gemeinsamen Faktor haben. 

 Dann müssen der Zähler und der Nenner selbst symmetrisch in den t sein. 

 AVäre es anders, würde bei der Vertauschung etwa von t^ mit t, der Zähler 

 oder der Neuner oder jeder von beiden den Wert ändern, so könnte durch 

 geeignete Wahl von fj und f. diese Änderung beliebig grofs gemacht werden, 

 der Bruch könnte nicht immer den gleichen Wert behalten. Jede symmetrische 

 Funktion ist rational in den t-, also können wir, wenn es sich um die Um- 

 formung vou symmetrischen Funktionen handelt, uns auf die Umformung 

 von Typen beschränken. 



2. Jedes c,. ist ein Typus, in dem (neben den Exponenten ü) nur 

 die Exponenten 1 vorkommen: c,. = T\<: Ein Produkt von zwei oder 

 mehreren c führt also auch zu einer Summe von Typen; von diesen hat 

 jeder das Gewicht gleich der Zeigersumme der multiplizierten c. Z. B. wird 

 Kii^r%\- = Ci-Ci-c^^ nur auf T vom Gewicht 21 führen; dabei ist der höchste 

 Zeiger, den ein t haben kaun. gleich der Anzahl der Faktoren c, liier == 10; 

 und jedes T in der Entwicklung hat nichtverschwindende Zeiger höchstens 

 soviele. als das Gewicht von K, mindestens soviele. als der höchste Zeiger 

 vou K angibt, hier höchstens 21 und mindestens 4. Ein Beispiel solcher 

 Ent-wickluug kennen wir aus der Schule: [t^ + U— . . . t„\^'. also Ä'i,« oder 

 Cj/'. soll in eine Summe von Produkten der f, also auch in Typen der t, 

 übergeführt werden. Die Ausführung der Multiplikation liefert, ehe mau gleiche 

 Glieder zusammenzieht. «"Glieder. Eines von ihnen sei f/'" f ;'<>... f„«"-i; 

 dazu mufs jede Klammer einen und nu]' einen Faktor beisteuern, also ist 

 «0 -t- «I — • • ■ '-«-1 == ,"■ Hier ist t^ aus einer Gruppe von «„ Klammern, t^ aus 

 einer solchen von «, Klammei'ii u. s. i. zu entnehmen, wobei die Reihenfolge 

 der Wahl in jeder Gruppe gleichgültig ist. Daher erhält jenes Glied, wenn 

 es mit allen gleichen vereinigt wird, den Faktor //!: («o! «,!... «„_i!) und den- 

 selben hat jedes (TÜed, das aus jenem durch Vertauschung zweier t entsteht. 

 Somit wird: 



u 



wo die Summe über alle verschiedenen Zahlenreihen [u] vom Gewicht // sich 

 erstreckt: der pol^aiomische oder, bei n = 2, der binomische Lehrsatz. 



Wir wissen nun aus mehr als 100 jähriger Erfahrung, dafs der Ver- 

 such, die K durch die T und umgekehrt die T durch die K unmittelbar 

 auszudrücken, nicht zu gutem Ziel führt, und ziehen noch Determinanten 



