[9] Symmetrische Funktionen. 228 



C(/) uicht vorhanden, so ist die betretfende Zahl x,"l Null, ebenso ist r)"' 

 Null, wenn 2)«) in dein Ausdruck für C(A) nicht vorkommt. Sonst sind die 

 X und r ganze Zahlen, positiv oder negativ, ihre Natur wird näher zu unter- 

 suchen sein. Diese Zahlformen spielen im folgenden eine grofse Rolle. 



3. Bei der Entwicklung der K nach den T, der C nach den K, 

 der C nach den T haben alle Gllieder in einer solchen Gleichung gleiches 

 Gewicht für die Frmktionen der t. Die Gleichungen (3) sind daher noch 

 durch iiie folgende zu ergänzen: 



,a = Xi,-r_Xi + .. . X,—i = ;io + Aj + . . . -f Aj,_i + r—p. (3 a) 



In den umgekehrten Entwicklungen wird es nicht anders sein, weil t^, . . . t,, 

 Mafszahlen gleichartiger Gröfsen sein können für ein beliebiges, nur für 

 alle gleiches Mals. 



Für ein bestimmtes Gewicht // ist die Anzahl der K. der T und der C 

 die gleiche, nämlich gleich der Anzahl der Zerfällungen (Zerlegungen in 

 positive Summanden) der Zahl ,«. Jede dieser Zerfällungen kann Zeiger- 

 reihe für K, für T und für C sein. Die Anzahl der Zerfällungen hat Euler 

 bis jK = 59 berechnet. Es ist, wie man leicht nachprüfen kann, 



für.« = l; 2: 3; 4; 5; 6: 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; ... 

 die Zahl =1; 2: 3: 5; 7; 1 1 ; 15 ; 22 ; 30; 42 ; 56; 77 ; 101 ; 135; . . . 



Wie ist die Anordnung der Zeigerreiheu bei bestimmtem Gewicht zu 

 wählen V Wichtig ist zunächst auf dem ganzen Gebiet der symmetrischen 

 Funktionen der Begriff der zugeordneten Zahlenreihe, auch Gegenreihe 

 genannt.') Zu einer gegebenen Zahlenreihe erhält man die zugeordnete, 

 indem mau alle Zahlen in Einheiten auflöst, diese Summen gleichmäfsig 

 untereinander schreibt und spaltenweise addiert.*) Z. B. für 5, 4, 2: 



5 = 1 -^ 1 -h l + 1 -H 1 

 4=1+1+1+1 

 2 = 1-^1 



3, 3, 2, 2, 1; die Gegenreihe ist 32, 2\ 1. 



Ebenso sind 8, 5, 8" und 4^, 2'\ V einander zugeordnet, oder 11, 6, 2^ und 

 0^ 2^ P oder 6^ 7^ 3 und 6^ 5', 3. Eine Reihe kann sich selbst zu- 

 geordnet sein; z. B. 7, 3^ 1* oder 10, 4^ 1" oder 9'-, b\ 2\ Zur Reihe [X), 



') Den BegriflF hat Ferrers eingeführt, Cayley hat die Bedeutung für symmetrische 

 Funktionen erkannt. „Gegenreihe" schlägt Junge vor. 



2) Ein anderer Weg wird Jahresber. d. dtsch. Math.-Ver. Bd. 16 S. 432 f. angegeben. 



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