[11| Symmetrische Funktionen. 225 



den Faktor — 1 haben nuUs. Schreibt man in einer Quadrattafel links als 

 Eingang- der Zeilen die K nach der Hauptordnung, oben als Eingang der 

 ■Spalten die T in der Nebenordnung, so kihmen beide Entwicklungen, die 

 der K nach den T und die der 1' nach, den K, in diesem einen Quadrat 

 vereinigt werden. Alle Zahlen in den Feldern der Diagonale von links 

 oben nach rechts unten sind — 1 und gehören zu beiden Entwicklungen; 

 alle Zahlen rechts von jener Hauptdiagonale haben nur Nullen für die Ent- 

 wicklung der K: alle Zahlen links von der Hauptdiagonale haben nur Nullen 

 für die Entwicklung der T. Die Zahlen für ein bestimmtes K(x) stehen 

 in der betreffenden Zeile \ on der 1 der Hauptdiagonale bis zum linken 

 Rande: die Zahlen fitr ein bestimmtes T(a) stehen in der betreffenden Spalte 

 von der 1 der Hauptdiagonale bis zum oberen Rande.') 



Jedes c im Produkt K kann für ein bestinnntes t nur eine 1 oder 

 eine t) zum Exponenten beitragen; ans welchen der Faktoren c die Einsen 

 entnommen werden, bleibt willkürlich, wenn nur im ganzen der gewünschte 

 Exponent von / zusammengesetzt wird. Um daher den Zahlenfaktor eines 

 bestimmten I\a) in der Entwicklung eines bestimmten Kß) zu erhalten, 

 könnte man so verfahren: ^lan setze in einem Rechteck von in Spalten und 

 r Zeilen ,a Einsen und nti — .«Nullen so, dafs die Spalten der Reihe nach die 



Summen «o- «i> ■ • • «m-i, die Zeilen aber /i,,, ü >.,-i liefern. Die Anzahl der 



verschiedeneu Gruppierungen, die möglich sind, ist der gesuchte Zahlenfaktor. 

 Zwei Beispiele. Der Faktor von T(a) ini Ausdruck für Z^;.) sei y^",: 

 1. Beispiel: Wie grofs ist yl'^J^.'^ Vorbilder (ohne das letzte): 



U' 



'2 





', 



/. 



t,: 



t- 



',- 



t. 



':< 



'4 



/., 



^(1 



f- 





i{' 



h 



h 



^4 



^., 



t. 



f- 



''4 1 







1 









c:, 1 



1 



1 



1 









'h 





1 



1 



1 



1 







r, l 



'l ■ 



'l ■ 









1 



1 



1 











1 



L 



1 



6'2 



'1 



1 



1 









" 



1 



1 



Bei der Folge 1, 1, 0, in der ersten Spalte gibts 6! : 3! = 120 ver- 

 schiedene Bilder, weil drei Einsen aufser der ersten 1 in der ersten Zeile 

 stehen müssen. Bei den beiden Folgen 1, 0, 1, und 1, 0, 0, 1 sind es 

 zusammen (6! : 8! • 2!i • 2 == 120 Bilder; bei 0, 1, 1, und 0, 1, 0, 1 sinds 

 (6!:4!j.2 = 60 und bei 0,0,1,1 sinds 6! : 4! 2! = 15 Bilder. Also 

 y^; j;^.= 2. 120-60-^15 = 315. 



') Dnrfee ("Amer. Jonrn.) vereinigt auch beide Entwicklungen in einer Tafel. Doch 

 schiebt sich bei ihm, der eine andere Anordnung gewählt hat, die eine Entwicklung in die 

 andere mit recht seltsamen Spitzen, so dafs man nicht sicher ist, ob es bei jedem Tafel- 

 gewicht ausführbar wäre. 



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