•22« C:ir) Kostka, |U| 



wenn <, — gesetzt wird, r,'' derjenige, den c,, erliält, wenn ^i und /, ver- 

 schwinden usf., so ist: 



f,, = ^1 .r'/,_i + (•'/,: i-'u = U-(:"u-\ + <-"i, usw. (12) 



Wir differentiieren L\i.) spaltenweise, zuerst, «o Spalten nacli t^, keine 

 zweimal, weil dann die betreffende Determinante =0 wäre. Wird etwa 

 die ]i-\.\t Spalte diff'erentiiert, die voraufgehende nicht, so sind die obersten 

 Elemente der beiden Spalten: 



t\ •fX+''-3 + c';.„-i-;i-2 und • f';.„+;,_2. 



Sie werden gleich, wenn t-^ = U wird, ebenso alle Elemente der beiden 

 Spalten: also verschwindet die betreffende Determinante. Nur die Determi- 

 nante bleibt stehen, bei der die «o ersten Spalten alle nach t^ dift'erentiieit 

 worden sind. Weil dies in beliebiger Reihenfolge geschehen kann, tritt «„1 

 als Faktor voran. Also: 



~-^-;-jr' , , = «o! c/o-i '■>.„ - ■ • c;.„+f;„-2 '/.„-k«,, £•';,„-(-«,, -H • • ■ f%,-hJ--i , 



O Tj «0 f I =: 



wobei statt der Determinante ihre oberste Zeile steht. Wird nun ft,-mal 

 nach ^2 diff'erentiiert, keine Spalte zweimal, und ^.> = gesetzt, so darf im 

 allgemeinen wieder keine Spalte diff'erentiiert werden, ohne auch die vorauf- 

 gehende zu differentiieren; nur die («o-f l)-te Spalte macht eine Ausnahme. 

 Wird sie difterentiiert , die «„-te aber nicht, so sind die obersten Elemente 

 nach dem Nullsetzen von f.,: 



(■"K+a„--l lind r";.„+a„-| 



sie bleiben also verschieden, ebenso die folgenden Elemente der Spalten, 

 die betreffende Determinante verschwindet nicht. . Auch hier tritt der Faktor 

 n^\ vor jede Determinante. Führt man die ganze Rechnung (11) durch, so 

 fallen die Faktoren «o!, «i!, . . ., «„,_.! des Nenners gegen die gleichen des 



j_,VJj^,.ll Vll^ J,i 



Zählers fort. Keine Spalte darf einmal mehr als die voraufgehende diffe- 

 reutiiert werden. Als Ergebnis bleibt eine Summe von Determinanten, 

 deren Elemente und 1 sind und deren jede entweder den Wert oder 

 den Wert -{- 1 hat. Für die Zeiger der c in jeder der Determinanten 

 besteht nämlich das Gesetz: sie nehmen in jeder Spalte ab von oben nacli 

 unten, wie bei C(;.); sie wachsen in jeder Zeile von links nach rechts, doch 

 nicht, wie bei C(;.), immer um 1. Nach Ausführung der ,« Differentiationen 

 und Nullsetzen von i,, U, ... f„ stehe etwa in der i-ten Zeile f),"" in der 



