[15] Symmetrische Funktionen. 229 



Hauptdiagouale. Ist h<0, so sind auch alle Zeiger derjenigen c, die in 

 der i-ten Zeile vor c*"'* und die in den betreffenden Spalten unterhalb der 

 genannten Elemente stehen, negativ; alle diese Elemente sind = 0. Ist 

 /? > 0, so sind die Zeiger aller c'*'"\ die in der i-teu Zeile auf c,"" folgen 

 und aller, die in den betreffenden Spalten über den genannten Elementen 

 stehen, positiv: alle diese Elemente einschliefslich c^""^ verschwinden, sobald 

 f„.^, =^,„+3 = . . . t„ = gesetzt wird. In beiden Fällen ist das Verscliwinden 

 der betreffenden Determinante leicht zu erkennen durch Zerlegung in eine 

 Summe aus Produkten von je zwei Teildeterminanten, die eine vom v'-ten, 

 die andere vom [r — i)-ten Grade. Nur wenn alle Elemente der Haupt- 

 diagonale durch die Differentiation = cj,'"^ = 1 geworden sind, vej'scli windet 

 die betrettende Determinante nicht, hat vielmehr den Wert +1, weil alle 

 Elemente auf einer Seite der Hauptdiagonale = sind. Die Zurückführung 

 aller Zeiger der Hauptdiagonale auf ist möglich, weil «o + «i + • • • «m-i = (« 

 = >lo -r Ai -f ■ ■ A, _i ist. Immerhin können auch Fälle eintreten, wo alle 

 Determinanten durch die Rechnung (11) verschwinden. Jedenfalls hat jedes 

 r" positiven Wert, wenn es nicht Null ist. Grenaueres über die Berechnung 

 später: hier nur noch zwei einfache Fälle. 



ai In der Entwicklung von C(A) nacli den T wird die Nebenordnuug 

 gewählt; welches ist das letzte T(^a)'^ Mindestens 2.„ Zahlen « müssen vor- 

 handen sein, um den ersten Zeiger ?.(, der Hauptdiagonale auf herabzu- 

 bringen, weil jedes « nur eine 1 dazu beitragen kann. Sind genau ^ Zahlen 

 u da, so dürfen höchstens /o — Xi Einsen darunter sein, damit nach Ver- 

 minderung jedes « um eine 1 noch /, Zahlen da sind, um den zweiten Zeiger 

 /i der Hauptdiagonale auf herabzubringen. Ebenso dürfen die ^n Zahlen «, 

 falls /,) — /i Einsen unter ihnen sind, höchstens Xj — X.^ Zahlen 2 enthalten, 

 haben sie diese Höchstzahl, so höchstens h — X-^^ Dreien usf., wenn es gelingen 

 soll, in allen Elementen der Hauptdiagonale auf cj,'"^ zu kommen. Jenes 

 letzte Grlied ist T().'y Dabei raufs t/^\ = 1 sein, weil nur bei einer Ver- 

 teilung der u Einheiten von {X'j jeder Zeiger X der Hauptdiagonale auf 

 herabgebracht werden kann. 



b) Wie grois ist' t^^^'^;":* Aus der Zahlfolge der ,« Einsen müssen zu- 

 erst die «„ ersten auf herabgedrückt werden, dann die «, folgenden usf. 

 Wollte man irgendwie von diesem einen Wege abgehen, so würde eine Zahl 

 der Reihe {X) um 1 mehr vermindert sein, als die voraufgehende, es würden 

 gleiche Spalten in der betreffenden Determinante entstehen und diese müi'ste 



verschwinden. Somit ist t^", = 1 und Cin = '^T[a}, d. h. gleich einer 



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