II. 



Hilfsatz in Determinanten. Beziehungen zwischen den 

 Funktionen T, K, C. 



6. Die Determiuante H-ten Grrades 



gelegentlich auch so zu schreiben: 



h = 1 



D = .<,«»<„«' 4"-..^/'"-' , (13a) 



habe als Exponenten «o, «i, • ■ • ««-i ganze positive Zahlen, aufsteigend 

 geordnet, alle voneinander verschieden; «o darf auch Null sein. Sie ist 

 ohne Rest teilbar durch 



J = JT + /i« h'^ t:^ . . . 4"-' = ^/," tu' V ■ .: tu"-' . 



Seien ßi, ß^, ■ ■ ■ ßr aufsteigend geordnete Zahlen, welche mit den « zii- 

 sauimen die ununterbrochene Reihe 0, 1, 2, ... «„-i genau ausfüllen, so 

 dafs a„_i + 1 := n-r r ist. Ohne Wertänderuug wird D in eine Determinante 

 vom Grad n~r verwandelt, indem man die Hauptdiagonale nach unten 

 um /• Elemente 1 verlängert , die unteren r Zeilen sonst mit Nullen füllt, 

 von den oberen n Zeilen aber die /?-te um </' t,fr . . . tf,ß'' verlängert, wo h 

 die Werte von 1 bis n hat. Werden dann die Spalten so umgestellt, dafs 

 die Reihe der Exponenten jeder Zeile aufsteigend ist, so erhalte D den 

 Faktor (— Ij^i; der weitere Faktor (— l)*^'^ tritt hinzu, indem die Spalten 

 der Reihe nach von links nach rechts mit (— 1)", (—1)', (—1)', ••• (— 1)"+'-' 

 inultipliziert werden. In jeder der letzten r Zeilen stehen jetzt je einmal 

 + 1 oder — 1, sonst nur Nullen; und zwar steht in der i-ten jener Zeilen 



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