232 Carl Kostka, [18] 



die Zahl [ — i)i''' in der Spalte, die oben als Expoueiiten der / die Zahl ßi 

 hat. Nun werden die r letzten Spalten nacheinander, die (« + r)-te zuerst, 

 die [11 -f IVte zuletzt, dadurch unig-eformt, dal's zu der betretfenden Spalte 

 die li voraufgehenden, der Reihe nach in der Richtung- nach links hin mit 

 L'i, c-i, ... f„ multipliziert, hinzugefügt werden. Weil -F(ii), F{t.^, . . . F{t„) 

 identisch = sind, enthält nun die grofse Determinante rechts oben ein 

 Rechteck von n • /• Nullen, links davon die Determinante »-ten Grades 

 (— !)" + ' + ■+ •••'"""• J und unterhalb des Rechtecks eine Determinante r-ten 

 Grades, aus deren Zeilen die Faktoren (—1)'^', ( — 1}% . . . (— 1)'^'' sich aus- 

 sondern lassen und die dann lautet: 



Ol—,:?, Cn— (J, + l. . . . Cn—ßi + r—i 

 „ Cn—ß. Cn—i3.,+ l ■ . . C)i— ,9., + J-— 1 



Cn—ßr Cn — ßr+i ■ ■ ■ C,l — ßr + r~-\ 



Hier steigen die Zeiger der c von Spalte zu Spalte um 1 ; in der Diagonal- 

 reihe aber sind sie absteigend, weil zwar die Miiiueiiden n, w -H 1, n + r — 1 

 fortlaufend um 1 wachsen, jedoch die Subtrahenden (3,, j^o, • • • ßr mindestens 

 um 1. Setzt man also h, hi ■ ■ ■ ■^'— i statt der Diagonalzeiger, so hat mau 

 hier die Determinante C(;.). Die grofse Determinante zerfällt nun — wegen 

 jenes Rechtecks von Nullen — in das Produkt der beiden Unterdeterminanten 

 vom » -ten iind r-ten Grade. Man hat 



D = (-l)f. J.0(;.), 



wobei £ = ti + 4-2 + [0 + 1 + 2 + . . . [^n — 1)] + \ß^ + ^2 + • • • ßA ist. Aus der 

 ununterbrochenen Reihe 0, 1, 2, ... \i tritt irgend eine Zahl ß ans Ende 

 durch z — [i Yertauschungen. Um die aufsteigende Reihe der Exponenten 

 bei i*, also 0, 1, 2, ... (m + r — 1), in die ursprüngliche Folge «0, «i, ... 

 «« 1, ft, [i-i, . . ■ ßr zu bringen, sind )i + r — 1 — ßr Yertauschungen für ßr nötig, 

 aber für ß,—i nur n + r — 2 — /3,.-i, weil schon eine Zahl oberhalb ^,—1 fehlte 

 usf.; im ganzen also £i = (»-fr — i — ß,) + {n -\- r — 2 — ß,.-) + . . . {n —ßi). 

 Daher: 



£ = £-2 + [0 + 1 + 2 + . . . (« + r— 1)] — [ß,+... ß,.] ^[ß^^...ß;] = 2e.2. - 



Weil also a eine gerade Zahl ist, hat ujan^): 



1) Diesen wichtigen Satz hat zuerst — anders als hier — Naegelsbach bewiesen: 

 Progr. Zweibrücken 1871, § 6. Jacobi hat D: A mit Hilfe von Entwicklungskoeffizienten 

 durch Kombinationen der t mit Wiederholung bestimmt, s. Grelle J. Bd. 22 S. 371. Vgl. hier 

 weiter unten. 



