[19] Symmetiische Funktionen. 2o3 



D: J = Ca„, ;.„... ;„._! = C(;.), ' (U) 



falls für alle Werte des h von 1 bis /• gesetzt wird: 



^/,_i = « -f 7* — 1 — ßi, . (14 a) 



Ist in D der Exponent «o nicht ^ 0, so tritt bei C(x) von selbst der Faktor 

 c„"o heraus, weil c„+, = c„+i ==... = und die «o ersten Zahlen ß dann 

 die Werte 0, 1, 2, . . . («o — 1) haben. Aufserdem sei bemerkt: Da ßi nicht 

 negativ sein kann, ist n > ^o- 



7. Zwei Anwendungen von (14) folgen. 



h = l 



a) Dl = 1 t„ V . ■ . f"~- t" j = A-Cia-„+i, 



h = n \ 



falls a> n — 1. Ist « ^ n — 1, so ist D^: J = 1; Null ist Dj, wenn « 

 einen der Weite 0, 1, 2, ... n — 2 hat. 



Streicht man in J (vgl. S. 17) die letzte Spalte und zugleich die erste, 

 zweite oder dritte usf. Zeile, so sind die entstehenden Teildeterminanten, 

 die mit J/'*, J/^', J,'^' . . . bezeichnet werden mögen, zugleich Unter- 

 determinanten von D^. Die Entwicklung von D[ nach den Elementen der 

 letzten Spalte liefert: 



Dr.A = {- 1)»-^ . (^jp t," - Y w/ + . . . (- 1)"-' . -'^- - . f„«} . 



A^ //i^", zli'^' usf. sind Differenzprodukte der t. Wird bei A die erste Zeile 

 von jeder folgenden abgezogen, so läfst sich im Ergebnis ohne Wertänderung 

 von A die erste Spalte und Zeile wegstreichen. Wird weiter, von recJits 

 her beginnend, jede Spalte um die mit t^ multiplizierte voraufgehende Spalte 

 vermindert , so treten aus den neuen Zeilen die Faktoren tj — ^u ^3 — ^1 "sf. 

 heraas und man erhält: 



Behandelt man /J/'' in gleicher Art, so wird: 



A=^{h. — \)... (4 — t,)' {i, — U) {t, — t^...{t„ — U) . 1 t,i t,,-i . . . t,,''-^ . 



/l ^ 71 I 



Bei weiterer Fortsetzung zuletzt: 



j = (u-t^) {t^-t,) . . . {t,-t,) (^-y (<4-y . . . (<„-<2) ih-h) ■ . ■ {fn-W ■ . ■ {k-tn-i) . (15) 



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