2r?4 Carl Kostka, [20] 



Bei J,''' fehlen alle Faktoren aus (15), die ^i enthalten, bei J,^-* diejenigen, 

 in denen tj vorkommt usw. Man beachte nun, dafs 



F- «,) = (t^ — U)... (t, — t„); F' (U) = {U — h) {U — h) . . . {h—t„) usw.; 

 also : 



^j-n ^ (— 1)"- ' ^<2) ^ ( — 1)"-' 



Daher wird; 



„ jC)« — «— 1, wenna>M— li 



' +^,^^ + •■■W^^= 1 ,.enn« = ._l. (16) 



*■ '-^ ^-\ ^ "^ lO , wenn a < » — 1 



Dies sind Leonhard Eulers Identitäten. 



A = 1 



b) B. = 1 'a' '*'••■ 4'""' = Zl • C„ ^,, „_3, ... 3,2, I. 



'* = n 



Andererseits nach der obigeu Entwicklung von /S: 



j) .j ^ ( ¥— ^1^) • ■ • (4-^—^1^) (^-^ — ^2^) • ■ • jtn^ — tn-l^) 

 - ■ {U — *,) • • • (4— *,) • (^ — ^2) • ■ • (4—4-1) ■ 



Daher: 



(^2 + k) ih + td ■■■ (4 + ti) ih + 4) ... (4+ 4-i) == C„_i, „_2, ... 3, 2, 1. (17) 



Das A'erschwinden dieses C ist die notn^endige und hinreichende Bedingung 

 für das Vorhandensein entgegengesetzt gleicher Wurzeln bei F{t) = 0, also 

 bei reellen Koeffizienten notwendig für rein imaginäre "Wurzeln. Der Aus- 

 di-uck (17) wird Geminante von F (t) = genannt. 



Zum Schlufs dieses Abschnittes noch eine Bemerkung. Bildet man 

 für Eeihe 1;.) die zugeordnete (/') (vgl. S. 10) in aufsteigender Folge, setzt 

 )i — ÄQ Xullen vor diese und addiert man zu den Gliedern dieser Reihe 

 von n Zahlen einzeln die Glieder der Reihe 0, 1, 2, . . ., )i — 1, so entsteht: 



(X') = 0, 1. 2, ... «— ;.() — 1 I w— P-o— 1, "—'«•0 + 2, ... M — >l, I « — /l,4-2, ... I ... 

 . . . n — kr-i + )• — 2 I n — ^._i-f- )",...,« + »" — 1. 



Hier fehlen, wie die Striche andeuten, in der ununterbrochenen Reihe 

 0, 1, 2, . . . n -^ r — 1 die Zahlen n — .^o, n +1 — Xi, n-r2 — X^, ... n + r — 1 — /r-i ; 

 das sind genau die Zahlen ^1, ßi, ßs, ... ßr aus (14 a). Also stellt (I') selbst 

 die Reihe der Exponenten von D in (13) dar. Man kann mithin, wenn 



