[21] Symmetrische Funktionen. 235 



die Exponentemeilie in (13) gegeben ist, die zur Bestimmung von D : J 

 nötige Reihe {X) auch so finden, dafs mau von der Reihe «o, «i , e- «n-i 

 die andere 0, 1, ... n — l Grlied für Glied abzieht und zur entstehenden 

 Reihe die zugeordnete bildet. So ist z.B.: 



wenn B = ^ ± f,'^ t,» f^' t^^ %^'' ist, D : /( = C4=, g., s, it : 



wenn I> =- ^ ± h'i tr^ t^'' t^^^ t-^^^ ^„21 ist, B : A = Cb., 5:;, .,^., 2., 1.3. 



Auch könnte man die bemerkenswerte Identität aufstellen: 



Darin sind fj, t.,, ... t„ beliebige voneinander verschiedene Zahlen, während 

 c,, (•„ ... c„ nach S. 5 aus ihnen zu bestimmen sind. Bei Gleichheit zweier 

 t, und auch wenn X^ > )k gelit (18) in = über. 



8. Das Produkt J • T(ß) ändert (wie sein erster Faktor) dixrch Ver- 

 tauschung zweier t, oder auch bei feststehender Reihenfolge der t durch 

 Umtausch zweier Exijonenten, nur das Vorzeichen. Wird das Anfangsglied 

 ^1" ^2' ^o" • • • C~^ ^'on J mit den v Gliedern von T(a) multi^DÜziert , so hat 

 man r positive Glieder von der Form tjo t^y' . . . tJ"-K Jedes derartige 

 Glied gehört, weil das Gesamtprodukt in der neuen Form die gleiche 

 Eigenschaft, wie vorher, haben mufs, zu einer Gruppe von n\ Gliedern, die 

 nur in der Reihenfolge der Exponenten sich unterscheiden, zur Hälfte positiv, 

 zur Hälfte negativ sind, je nach der Anzahl der Umstellungen, die also 

 eine Determinante bilden. So hat mau alle n!-i' Glieder des Produktes 

 J • T(a) • jedes nur einmal. Von den r Deter«Qinanten verschwindet jede, 

 bei der nicht alle Exponenten ungleich sind; bei den anderen werden die 

 Exponenten aufsteigend geordnet, etwa durch v Umstellungen von Spalten. 

 Durch Anwendung von (14) folgt dann: 





(19) 



Sei z. B. eines von den r positiven Gliedern t^^ t^^ t^^ t^ t-^ i/, gebildet aus 

 ^1° ti ti ti' ti* ti und t^ ti t^ t^ t^ ti ; ein anderes Glied der zugehörigen 

 Gnippe des Gesamtproduktes sei — ti t.2 t^ ti t-^ %^ ; so -ist es aus jenem 

 entstanden durch Verschiebung des zweiten Exponenten in die vierte Stelle 

 und des fünften in die sechste, d. h. durch drei Umstellungen. Somit ist 

 hier — t^^ ti 1/ f^' f/ i/ aus A mit i/' t^* tf i^" t,^ t^ aus T^a) multipliziert. 



