236 Carl Kostka, [22] 



Die betreffende Determinante D = ^ ± t^^ t^^ ts' ti t^' ii" erhält das Vor- 

 zeicheji +, weil ihr Anfangsglied aus jenem positiven durch zwei Umstellungen 

 hervorg-egangen ist; sie ist = zl-Co, ts, während («) = 4, 3^, 2 w'ar. 



Um bei einer Gleichung n-ten Grades F {i) = ein T{a) durch die 

 Koeffizienten auszudrücken, addiert man zur festen Reihe 0, 1, 2, . . ., n — 1 

 Glied für Glied die Reihe «o, «i, ... «„._i, 0"~"' in allen verschiedenen An- 

 ordnungen, läfst jedes Ergebnis /o, Tu ■ ■ ■ /„_i fort, dessen Zahlen nicht 

 alle ungleich sind, stellt bei den übrigen fest, ob sie durch eine gerade 

 oder ungerade Anzahl von Umstellungen in die aufsteigende Reihe (/) über- 

 gehen, und bildet danach (19). Will man die allgemeine Formel haben, 

 nicht nur das Ergebnis für ein bestimmtes n, so tut man gut, n = ,u zu 

 setzen. Wäre n>fi, so wiirde jede Anordnung der Reihe («), die nicht 

 mit n — fi Nidlen beginnt, zu verschwindendem D führen. Sei z. B. Ti^ 32, 2 zu 

 bestimmen und }i = 15, so dürfte keine der Zahlen 4, 3, 3, 2 zu 0, 1, 2 der 

 festen Reihe addiert Averden, w^eil dann höchstens 2 + 4 + 3 + 3 + 2 = 14, 

 d.h. das letzte Glied der festen Reihe, zu erzielen wilre. Ist aber n < fi, 

 so würden einige Determinanten C, die bei gröfserem » auftreten könnten, 

 wegen c„+;, = sich nicht vorfinden; beim Beispiel ^4,32, 2 etwa Cj, , 2, falls, 

 wie vorher, n = 6 gewählt wird. 



Hiernach ergibt sich folgender 



Plan für die Bestimmung von T(a) durch die C: 



0. 1. 2. ... {n-\)\ + 



«0' «i' «2' . . . a'jx—i j7o /i 72- . . • 7/^—1 oder 

 [irgend eine Anordnung { [für jedes h von bis — 

 von («), die nicht auf-,« — 1 ist y,, ■=li-\-ah\ für D 

 ■ gleiche 7 führt]. 



[aufsteigend]. \lh~\ = l^+ '' ~ ^—ßu 

 ! für /( von 1 bis r]. 



wo die Summe über alle so gew^onnenen Determinanten C(a) sich erstreckt. 

 Zur Nachprüfung wird man beachten, dafs /o + /i + ■ • • 7/.c-\ = ^ — - und 

 A + |32 + ■■■ ßr = 1« {>' — 1) + "^ ist. Die Zahl r ist höchstens gleich dem 

 gröfsten a. 



