[23] Symmetrische Funktionen. 



Beispiel a): Tj «^ zu bestimmen. 



237 



1 



2 



3 



4 



5 



6 



















7 



8 



9 





3 





2 





2 





3 



1 



2 



5 



4 



7 



6 



+ 











7 



2 



3 







2 





2 



1 



5 



3 



4 



7 



6 



+ 











7 



2 



2 





3 







2 



1 



4 



3 



7 



5 



6 



H- 











7 



3 







2 





2 







4 



2 



3 



6 



5 



8 



— 



1 



7 





6, 1 



2 





3 







2 







3 



2 



6 



4 



5 



8 



— 



1 



7 





6, 1 



2 





2 





3 









3 



2 



5 



4 



8 



6 



— 



l 



7 





6, l 







3 







2 



2 









5 



3 



4 



7 



8 



+ 



2 



6 





5, 2 







2 





3 





2 









4 



3 



7 



5 



8 



+ 



2 



6 





5, 2 







2 





2 





3 









4 



3 



6 



5 



9 



+ 



2 



7 



8 



5, 1, 1 











3 





2 



2 









2 



tJ 



4 



7 



8 



— 



3 



5 





4, 3 











2 





2 



3 









2 



5 



4 



7 



9 



— 



3 



6 



8 



4, 2, 1 















2 



2 



3 









2 



3 



6 



7 



9 



+ 



4 



5 



8 



3, 3, 1 



Ti_ 22 = 3 • Ct — 3 • Ce, 1 + 2 • Co, 2 + Cs, 12 — Cj, 3 — C4, 2, 1 + C32, 1 . 



b) Das zweite Beispiel sei die Aufgabe, welche Waring- um 1780 

 aufgestellt und gelöst, Serret etw'a 80 Jahre später ähnlich vorgetragen 

 hat: T\mi -Im. durch die c zu bestimmen.') Hier ist m = m-^ + «^2, ,« = m, + 2m,. 

 Zu der festen Reihe 0, 1, 2, . . ., Wi + 2/Ho — 1 ist eine Reihe, die »12 -mal 2, 

 »i;-mal 1 und )»o-mal enthält, in allen verschiedenen Anordnungen zu 

 addieren, soweit diese nicht auf gleiche / führen. Die Folgen 2, 1 oder 1, 

 oder 2, 0, oder 2, 2, liefern gleiche 7; als einzige absteigende Folge ist 

 nur 2, vor 1 oder 2 erlaubt. Letztere verlangt, um die Exponenten / in 

 der Determinante D aufsteigend zu ordnen, jedesmal eine Umstellung zweier 

 Spalten; steht etwa 2, unter -x und x+1, so müssen nachher die Zahlen 

 X — 2 und X -r 1 umgestellt werden. Wird die ganze Reihe der « aufsteigend 

 geordnet, zuerst alle 0, dann alle 1, endlich alle 2, so fehlen in der Ex- 

 ponentenreihe die Zahlen m^ (hinter der »ij-ten Zahl der Reihe) und m-\-l 

 (hinter der [mi-fmjj-ten Reihenzahl); es ist ß-^ = m^ und ßn = m+l,-^also 



i)h 



; )«.! 



m., = m und l^ = (nii + 2m?2 +1) — {in + 1) 



nin. 



Die 



Determinante + C„,^ ,^ ist also das erste Glied des gesuchten Ausdrucks. 

 Beginnt die « - Reihe mit m., — h Nullen, so endigt sie mit w, : — h Zahlen 2 ; 

 dazwischen stehen m^ Zahlen 1 und h-msl die Folge 2, 0, d. h. nii + h Elemente 



(w-i + ZQ! 

 m, ! ]il 



in beliebiger Umstelhmg, so dafs die Anzahl dieser Umstellungen 



ist. In der 7 -Reihe fehlen die Zahlen m^ — h (hinter der [vuj — /?]-ten Zahl) 



1) Waring, Meditat. algebr. ed III, p. 14 f.; Serret, cours d'algebre supörieure, t. I, 

 176. Vgl. ferner J. 81, S. 288; Saalschütz, Arch. d. Math. u. Phys., 3. Rhe, IX, S. 140 ff. 



