[31] Symmetrische Funktionen. 245 



J 52, 4, 32, 12 5ä, 32, 12 5, 4, 3, 12 6, 3, 1= , 3=. 1 5, 3, 12- 3, l' 



nf 5,12 5, 3, 1 _^ 5,3,1« ■> 32 , 32,1 3,1 



V''i=, 1 "4,22,1 I "4,3,2.1/ "3, 2, 1 + "32, 1 I "3, 1 



of 5,1 I 5, 12\ , „f 6,3 1 6, :), l-> o 5, 3, 12 3, , „ 



= — 2\— "s! 2. 1 + "32, ])+ 2{— "s! 2, 1 + "5. 3, l) — 2 X,: 4 1 " "2! 1+ ^ 



=2{-"4:?}-3<: + 4 = + 9. 



Man achte bei solchen Rechnungen darauf, dafs in jedem Glied die untere 

 und obere Zeigersumme a^ou x übereinstimmen. 



Handelt es sich um Aufstellung von Tafeln aller x der Reihe nach 

 für die Gewichte 1, 2, 3 usf , so führt die Benutzung von (27) am schnellsten 

 zum Ziel, die Rechnung wird sehr einfach.-') 



b) Die Zahl x^"; der Faktor also von C(i) in der Entwicklung von 

 T^a) kann nach dem Plan S. 22 gefunden werden. Hier lälst sich einiges 

 wesentlich vereinfachen.'^) Man hat die aufsteigende Reihe ßi = fi — Xo, . . ., 

 ßr=: fi-i-r — l — ;.,._i , die gleiche Zahlen nicht enthält. Zur festen Reihe 

 0, 1, . . ., 1/ — 1 soll die Reihe 0«-"», «o, «i, • ■ -, «m-i Glied für Glied in allen 

 den Anordnungen addiert werden, bei denen gleiche Zahlen nicht entstehen. 

 Die erhaltene Reihe •/,„ /|, . . ., yu—\ ist aufsteigend zu ordnen und soll mit 

 ,j,, . . ., {ir zusammen die ununterbrochene Reihe 0, 1, ...,,« + r — 1 einfach 

 ausfüllen. So oft eine solche Reihe {•/) durch die Umstellungen in der 

 Reihe («) erzielt werden kann, ebenso oft kommt C^x) als Glied in (19) vor, 

 es hat dabei das Vorzeichen + oder — , je nachdem die Anzahl der Um- 

 stellungen, die (/) zu einer aufsteigenden Reihe machen, gerade oder ungerade 

 ist. Nun seien / der Zahlen ß kleiner als ft, die anderen ^ft. Die kleinste 

 der Zahlen 0, 1, . . ., ,u — 1, die in der Reihe (/) fehlt, ist ßi; sie fehlt, weil 

 eine Zahl u, etwa a^', zugelegt worden ist. Die Ersatzzahl ßv+ a^' kommt 

 an die richtige Stelle durch ,« — |9, — 1 Vertauschungen, falls ßi + ai'>fi — 1 

 ist, dagegen durch a^' — 1 Vertausch ungen, falls ß^ + «i' < /i ist. Im letzteren 

 Fall hat ßi -i- «i' nach der Verschiebung eine gleiche Zahl neben sich , zu 

 dieser mufs ein anderes « , etwa «2', zugelegt und die Zahl ßi + «/ + «2' an 

 die rechte Stelle gerückt werden durch fi — 1 — /^i — «i' oder durch «2' — 1 

 Vertauschungen, je nachdem jSi + «,' + aj' > //— 1 ist oder nicht. So ist fort- 

 zufahren, bis etwa 7' ^ (3, -fa,'-|- ...«'„,->(« — 1 wird und hinter // — 1 ge- 

 schoben worden ist. Statt ^1 ist also 7' eingetreten und durch ai' -\- a-2 

 -h . . . ß'„,._i + fi — (,3| -f «i' -t-ßj' + ■ ■ ■ ö'm'-i) —m'=^fi — ßi — m' = Xo — m' Um- 

 stellungen hinter .« — 1 gelangt. Ebenso möge statt ß2 die Zahl 7" = ß^ 



1) Vgl. J. 93, S. 118 ff. and Prgr. Siehe auch hier S. 27. 



2) Das Folgende ist J. 81, 8. 285 f. zuerst dargelegt worden. 



