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+ a," + «2" + .. . a"m" > ,a — 1, aber verschieden vuii y' eintreten; sie gelangt 

 durch fi — ß2 — m" + 1 = ^^ — m" Vertauschungen liinter 7' usf. Zuletzt tritt 

 /" für ßi ein ixnd kommt durch A,_i — »1'" Umstellungen hinter 7<'-". Werden 

 noch die Zalilen y', y", . . ., /"' aufsteigend geordnet, etwa durch q Ver- 

 tauschungen, so ist die Reihe 70, n, ■ • ■, /,«-i in aufsteigender Folge her- 

 gestellt, weil ja die anderen 7 innerhalb der Reihe 0, 1, . . ., // — 1 schon au 

 der richtigen Stelle stehen. Die Gesamtzahl der Umstellungen ist X^ -7- ä^ 

 + . . . A,_i — m + Q, weil m' + m" + ... jh*" = m ist. Auch ist ,^1 -r ß-i + .■ ■ ß: -- ft 

 = 7' + 7" + ■ • ■ 7"', weil die Summe aller « = « ist. So oft aus der festen 

 Reihe ß,, ß2, . ■ ., ßi durch verschiedene Zusammenstellung der Addenden a 

 die Reihe 7', 7", . . ., 7'" in irgend einer Anordnung entstehen kann, ebenso 

 oft kommt C;.) in dem Ausdruck für T(a) nach dem Plan S. 22 [oder auch 

 in (19)] überhaupt vor. Für eine bestimmte Anordnung der Zahlen 7', . . .. 7"» 

 (alle > // — 1) haben alle betretfenden C gleiches Vorzeichen, so dafs zu 

 dieser Anordnixng ein bestimmter positiver oder negativer Faktor von Cß) 

 sich ergibt. Sind diese Faktoren für alle ?'! Anordnungen von 7', . . ., f'^ 

 ermittelt, so ist die Summe der so erhaltenen Zahlen der gesuchte Faktor 

 x^"l von C(;.). Dabei ist besonders zu beachten: Um eine Zahl 7"'^ aus dem 

 zugehörigen ß^ entstehen zu lassen, dürfen die Addenden « nie so angeordnet 

 werden, dafs schon vor HinzufUguug des letzten von ihnen eine Zahl gröfser 

 als ,« — 1 erreicht wird. Folgende Regel gilt also: „Um den Wert von 

 5«^", zu ermitteln, bilde man zu {X') die Gegenreihe (A) = 2o, h^ • ■ •> y>.r-i und 

 vergleiche dann die beiden Reihen (A) ^ — ^, ,w + l — yli, . . ., /j.-\-r — 1 — /,._i 

 und (B) ,M, (« + 1, . . ., 1" + r — 1. Von der Reihe ( A) mögen die i ersten 

 Zahlen ß^^, ß2, . . ., ßi < ii sein, also in (B) nicht vorkommen; dann sind in 

 (B) auch i Zahlen, die in (A) sich nicht finden, sie seien 7', 7", . . ., y^'>. Es 

 mufs |3i + iS, + . . . ft + I« = 7' + 7" + • - ■ 7"' sein. Man prüfe , wie viele ver- 

 schiedene Anordnungen der « durch Addition zu ßi, . . ., ßi eine bestimmte 

 Folge 7', 7", . . ., 7'", die durch q Umstellungen zu einer aufsteigenden Reihe 

 werden möge, derart liefern, dafs in keinem Fall eine Zahl oberhalb ft — 1 

 vor Hiuzufügung des letzten a der betreifenden Gruppe entsteht, und man 

 gebe der gefundenen Zahl das Vorzeichen ( — 1 )äo + ;.,+ . ../.,_i—m+p Führt 

 man dies für alle ü F'olgen der Reihe 7', y", . . ., 7^" durch, so ist die Summe 

 der erhaltenen positiven und negativen Zahlen der Wert von x^",. .'' 



Als Beispiel sei die oben gelöste Aufgabe a) 4. gewählt: Wie grofs 

 ist x%'l f;';-? Hier ist (A') = 4^ 3, 2% 1; (;i) = 8, 7, 4, 3; ,a = 22; r = 4. 

 Ferner («j = 5^ 4, 3^ 1^; m = 7. Es ist (A): 14, 16, 20, 22; (B): 22, 23, 24, 25. 

 Also ist ?==3; A,j + .ii + ^2 = 19; Xf, + Ä^ -\r Xo — m gerade. Aus der festen 



